Математический анализ Примеры

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = - 3$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x - x^{2} = - 3$

Этап 1.2

Решим $2 x - x^{2} = - 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x - x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Изменим порядок $2 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 1.2.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1 + y = - 3$

Этап 1.2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0 + y = - 3$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$

Этап 1.3

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = - 3$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(3, - 3)$

$(- 1, - 3)$

$(3, - 3)$

$(- 1, - 3)$

Этап 2

Изменим порядок $2 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 1}^{3} - 3 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x - (- 3) d x$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x + 3 d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Этап 4.7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 \int_{- 1}^{3} x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Этап 4.8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Этап 4.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Этап 4.10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

Этап 4.11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 1$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

Этап 4.11.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $- 1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

Этап 4.11.3

Найдем значение $3 x$ в $3$ и в $- 1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.4.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- (9 - \frac{- 1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (9 - - \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (9 + 1 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.6

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- (9 + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.7

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.8

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.4.10.1

Умножим $9$ на $3$ .

$- \frac{27 + 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.10.2

Добавим $27$ и $1$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{9 - 1}{2} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.14

Вычтем $1$ из $9$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{8}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.15

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.4.15.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.4.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.15.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.15.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{4}{1}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.15.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \cdot 4 + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.16

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{28}{3} + 8 + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.17

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{28}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.18

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{28}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 28 + 8 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.4.20.1

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{- 28 + 24}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.20.2

Добавим $- 28$ и $24$ .

$\frac{- 4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.22

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{4}{3} + 9 - 3 \cdot - 1$

Этап 4.11.4.23

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- \frac{4}{3} + 9 + 3$

Этап 4.11.4.24

Добавим $9$ и $3$ .

$- \frac{4}{3} + 12$

Этап 4.11.4.25

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.11.4.26

Объединим $12$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Этап 4.11.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 + 12 \cdot 3}{3}$

Этап 4.11.4.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.4.28.1

Умножим $12$ на $3$ .

$\frac{- 4 + 36}{3}$

Этап 4.11.4.28.2

Добавим $- 4$ и $36$ .

$\frac{32}{3}$

Этап 5