Математический анализ Примеры

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = - x$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x - x^{2} = - x$

Этап 1.2

Решим $2 x - x^{2} = - x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$2 x - x^{2} + x = 0$

Этап 1.2.1.2

Добавим $2 x$ и $x$ .

$- x^{2} + 3 x = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 3 x = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $3 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 3 = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x) - x (- 3)$ .

$- x (x - 3) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0 + y = - x$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = - (0)$

Этап 1.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = - (3)$

Этап 1.4.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = - 3$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(3, - 3)$

$(0, 0)$

$(3, - 3)$

Этап 2

Изменим порядок $2 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{3} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{3} - x d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 2 x - (- x) d x$

Этап 4.2

Умножим $- (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x + 1 x$

Этап 4.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$- x^{2} + 2 x + x$

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 2 x + x d x$

Этап 4.3

Добавим $2 x$ и $x$ .

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 3 x d x$

Этап 4.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} - x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Этап 4.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Этап 4.8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 \int_{0}^{3} x d x$

Этап 4.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Этап 4.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 4.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 4.10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (9 - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- (9 - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (9 - 0) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (9 + 0) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.6

Добавим $9$ и $0$ .

$- 1 \cdot 9 + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.7

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 4.10.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 4.10.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.10.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.10.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 4.10.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - 0)$

Этап 4.10.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} + 0)$

Этап 4.10.2.3.12

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2})$

Этап 4.10.2.3.13

Объединим $3$ и $\frac{9}{2}$ .

$- 9 + \frac{3 \cdot 9}{2}$

Этап 4.10.2.3.14

Умножим $3$ на $9$ .

$- 9 + \frac{27}{2}$

Этап 4.10.2.3.15

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

Этап 4.10.2.3.16

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

Этап 4.10.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 9 \cdot 2 + 27}{2}$

Этап 4.10.2.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.18.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{- 18 + 27}{2}$

Этап 4.10.2.3.18.2

Добавим $- 18$ и $27$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 5