Математический анализ Примеры

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = x^{2} - 4$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x - x^{2} = x^{2} - 4$

Этап 1.2

Решим $2 x - x^{2} = x^{2} - 4$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x - x^{2} - x^{2} = - 4$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$2 x - 2 x^{2} = - 4$

Этап 1.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$2 x - 2 x^{2} + 4 = 0$

Этап 1.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из $2 x - 2 x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Изменим порядок $2 x$ и $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Этап 1.2.3.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Этап 1.2.3.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $2 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- x) + 4 = 0$

Этап 1.2.3.1.4

Вынесем множитель $- 2$ из $4$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.3.1.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2}) - 2 (- x)$ .

$- 2 (x^{2} - x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.3.1.6

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2} - x) - 2 (- 2)$ .

$- 2 (x^{2} - x - 2) = 0$

Этап 1.2.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1 + y = x^{2} - 4$

Этап 1.2.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 2 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Этап 1.2.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (x - 2) (x + 1) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x^{2} - 4$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 2, - 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = {(2)}^{2} - 4$

Этап 1.3.2

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = {(2)}^{2} - 4$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2^{2} - 4$

Этап 1.3.2.2

Упростим $2^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 4 - 4$

Этап 1.3.2.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = {(- 1)}^{2} - 4$

Этап 1.4.2

Упростим ${(- 1)}^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = 1 - 4$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$y = - 3$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(2, 0)$

$(- 1, - 3)$

$(2, 0)$

$(- 1, - 3)$

Этап 2

Изменим порядок $2 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 1}^{2} x^{2} - 4 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x - (x^{2} - 4) d x$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + 2 x - x^{2} - - 4$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- x^{2} + 2 x - x^{2} + 4$

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x - x^{2} + 4 d x$

Этап 4.3

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{2} - 2 x^{2} + 2 x + 4 d x$

Этап 4.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{2} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Этап 4.5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Этап 4.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Этап 4.8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Этап 4.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Этап 4.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Этап 4.11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

Этап 4.12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $- 1$ .

$- 2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

Этап 4.12.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $- 1$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

Этап 4.12.3

Найдем значение $4 x$ в $2$ и в $- 1$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \frac{8 + 1}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.7

Добавим $8$ и $1$ .

$- 2 (\frac{9}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.8

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.8.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (\frac{3}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.8.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$- 2 \cdot 3 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.9

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 6 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 6 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.11

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.11.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$- 6 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.11.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 6 + 2 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 6 + 2 (2 - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.13

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 6 + 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.14

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 6 + 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.16.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- 6 + 2 \frac{4 - 1}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.16.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$- 6 + 2 (\frac{3}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.17

Объединим $2$ и $\frac{3}{2}$ .

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.18

Умножим $2$ на $3$ .

$- 6 + \frac{6}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.19

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.19.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.19.2.2

Сократим общий множитель.

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.19.2.3

Перепишем это выражение.

$- 6 + \frac{3}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.19.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$- 6 + 3 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.20

Добавим $- 6$ и $3$ .

$- 3 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.21

Умножим $4$ на $2$ .

$- 3 + 8 - 4 \cdot - 1$

Этап 4.12.4.22

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- 3 + 8 + 4$

Этап 4.12.4.23

Добавим $8$ и $4$ .

$- 3 + 12$

Этап 4.12.4.24

Добавим $- 3$ и $12$ .

$9$

Этап 5