Математический анализ Примеры

$y = 12 x - x^{2} - x^{3}$ , $y = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$12 x - x^{2} - x^{3} = 0$

Этап 1.2

Решим $12 x - x^{2} - x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$12 u - u^{2} - u^{3} = 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $u$ из $12 u - u^{2} - u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $12 u$ .

$u \cdot 12 - u^{2} - u^{3} = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 12 + u (- u) - u^{3} = 0$

Этап 1.2.1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $- u^{3}$ .

$u \cdot 12 + u (- u) + u (- u^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.2.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 12 + u (- u)$ .

$u \cdot (12 - u) + u (- u^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.2.5

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot (12 - u) + u (- u^{2})$ .

$u (12 - u - u^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1.1

Изменим порядок членов.

$u (- u^{2} - u + 12) = 0$

Этап 1.2.1.3.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$u (- u^{2} - (u) + 12) = 0$

Этап 1.2.1.3.1.2.2

Запишем $- 1$ как $3$ плюс $- 4$

$u (- u^{2} + (3 - 4) u + 12) = 0$

Этап 1.2.1.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u (- u^{2} + 3 u - 4 u + 12) = 0$

Этап 1.2.1.3.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$u ((- u^{2} + 3 u) - 4 u + 12) = 0$

Этап 1.2.1.3.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (u (- u + 3) + 4 (- u + 3)) = 0$

Этап 1.2.1.3.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u + 3$ .

$u ((- u + 3) (u + 4)) = 0$

Этап 1.2.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$u (- u + 3) (u + 4) = 0$

Этап 1.2.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (- x + 3) (x + 4) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$- x + 3 = 0$

$x + 4 = 0 + y = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $- x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $- x + 3$ к $0$ .

$- x + 3 = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $- x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 1.2.4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (- x + 3) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, 3, - 4$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(3, 0)$

$(- 4, 0)$

$(0, 0)$

$(3, 0)$

$(- 4, 0)$

Этап 2

Упростим $12 x - x^{2} - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $12 x$ .

$y = - x^{2} - x^{3} + 12 x$

Этап 2.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} - x^{2} + 12 x$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 4}^{0} 0 d x - \int_{- 4}^{0} - x^{3} - x^{2} + 12 x d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 4$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 4}^{0} 0 - (- x^{3} - x^{2} + 12 x) d x$

Этап 4.2

Вычтем $- x^{3} - x^{2} + 12 x$ из $0$ .

$\int_{- 4}^{0} - (- x^{3} - x^{2} + 12 x) d x$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} + x^{2} - (12 x) d x$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x^{3} - - x^{2} - (12 x)$

Этап 4.4.1.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} - - x^{2} - (12 x)$

Этап 4.4.2

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{3} + 1 x^{2} - (12 x)$

Этап 4.4.2.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{3} + x^{2} - (12 x)$

Этап 4.4.3

Умножим $12$ на $- 1$ .

$x^{3} + x^{2} - 12 x$

$\int_{- 4}^{0} x^{3} + x^{2} - 12 x d x$

Этап 4.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} d x + \int_{- 4}^{0} x^{2} d x + \int_{- 4}^{0} - 12 x d x$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} x^{2} d x + \int_{- 4}^{0} - 12 x d x$

Этап 4.7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} - 12 x d x$

Этап 4.8

Поскольку $- 12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 12$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} - 12 \int_{- 4}^{0} x d x$

Этап 4.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} - 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0})$

Этап 4.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1.1

Объединим $\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0}$ и $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} - 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0})$

Этап 4.10.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Этап 4.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}$ в $0$ и в $- 4$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (\frac{1}{4} {(- 4)}^{4} + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Этап 4.10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 4$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (\frac{1}{4} {(- 4)}^{4} + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1}{4} {(- 4)}^{4} + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1}{4} {(- 4)}^{4} + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (\frac{1}{4} {(- 4)}^{4} + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$0 + 0 - (\frac{1}{4} {(- 4)}^{4} + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.5

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - (\frac{1}{4} {(- 4)}^{4} + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.6

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$0 - (\frac{1}{4} \cdot 256 + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.7

Объединим $\frac{1}{4}$ и $256$ .

$0 - (\frac{256}{4} + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.8

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.8.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$0 - (\frac{4 \cdot 64}{4} + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$0 - (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$0 - (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$0 - (\frac{64}{1} + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.8.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$0 - (64 + \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.9

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$0 - (64 + \frac{1}{3} \cdot - 64) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.10

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 64$ .

$0 - (64 + \frac{- 64}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - (64 - \frac{64}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.12

Чтобы записать $64$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$0 - (64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.13

Объединим $64$ и $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3}) - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - \frac{64 \cdot 3 - 64}{3} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.15.1

Умножим $64$ на $3$ .

$0 - \frac{192 - 64}{3} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.15.2

Вычтем $64$ из $192$ .

$0 - \frac{128}{3} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.16

Вычтем $\frac{128}{3}$ из $0$ .

$- \frac{128}{3} - 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.17

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{128}{3} - 12 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.18

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.18.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{128}{3} - 12 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{128}{3} - 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{128}{3} - 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{128}{3} - 12 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.18.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{128}{3} - 12 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.19

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$- \frac{128}{3} - 12 (0 - \frac{16}{2})$

Этап 4.10.2.3.20

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.20.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$- \frac{128}{3} - 12 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Этап 4.10.2.3.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{128}{3} - 12 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Этап 4.10.2.3.20.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{128}{3} - 12 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Этап 4.10.2.3.20.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{128}{3} - 12 (0 - \frac{8}{1})$

Этап 4.10.2.3.20.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$- \frac{128}{3} - 12 (0 - 1 \cdot 8)$

Этап 4.10.2.3.21

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- \frac{128}{3} - 12 (0 - 8)$

Этап 4.10.2.3.22

Вычтем $8$ из $0$ .

$- \frac{128}{3} - 12 \cdot - 8$

Этап 4.10.2.3.23

Умножим $- 12$ на $- 8$ .

$- \frac{128}{3} + 96$

Этап 4.10.2.3.24

Чтобы записать $96$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + 96 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.10.2.3.25

Объединим $96$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + \frac{96 \cdot 3}{3}$

Этап 4.10.2.3.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 128 + 96 \cdot 3}{3}$

Этап 4.10.2.3.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.27.1

Умножим $96$ на $3$ .

$\frac{- 128 + 288}{3}$

Этап 4.10.2.3.27.2

Добавим $- 128$ и $288$ .

$\frac{160}{3}$

Этап 5

$A r e a = \int_{0}^{3} - x^{3} - x^{2} + 12 x d x - \int_{0}^{3} 0 d x$

Этап 6

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{3} - x^{3} - x^{2} + 12 x - (0) d x$

Этап 6.2

Вычтем $0$ из $- x^{3} - x^{2} + 12 x$ .

$\int_{0}^{3} - x^{3} - x^{2} + 12 x d x$

Этап 6.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} - x^{3} d x + \int_{0}^{3} - x^{2} d x + \int_{0}^{3} 12 x d x$

Этап 6.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - x^{2} d x + \int_{0}^{3} 12 x d x$

Этап 6.5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{2} d x + \int_{0}^{3} 12 x d x$

Этап 6.6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{2} d x + \int_{0}^{3} 12 x d x$

Этап 6.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 12 x d x$

Этап 6.8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 12 x d x$

Этап 6.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 12 x d x$

Этап 6.10

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 12 \int_{0}^{3} x d x$

Этап 6.11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Этап 6.12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 6.12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $3$ и в $0$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 6.12.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 6.12.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 0) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (\frac{81}{4} + 0) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.5

Добавим $\frac{81}{4}$ и $0$ .

$- \frac{81}{4} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.6

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{81}{4} - (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.7

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- \frac{81}{4} - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{81}{4} - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{81}{4} - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{81}{4} - (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.7.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- \frac{81}{4} - (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{81}{4} - (9 - \frac{0}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- \frac{81}{4} - (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{81}{4} - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{81}{4} - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{81}{4} - (9 - \frac{0}{1}) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{81}{4} - (9 - 0) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{81}{4} - (9 + 0) + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.11

Добавим $9$ и $0$ .

$- \frac{81}{4} - 1 \cdot 9 + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.12

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- \frac{81}{4} - 9 + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.13

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4} + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.14

Объединим $- 9$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 81 - 9 \cdot 4}{4} + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.16.1

Умножим $- 9$ на $4$ .

$\frac{- 81 - 36}{4} + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.16.2

Вычтем $36$ из $- 81$ .

$\frac{- 117}{4} + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{117}{4} + 12 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.18

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{117}{4} + 12 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.12.2.4.19

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{117}{4} + 12 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 6.12.2.4.20

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.20.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{117}{4} + 12 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 6.12.2.4.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{117}{4} + 12 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 6.12.2.4.20.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{117}{4} + 12 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 6.12.2.4.20.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{117}{4} + 12 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 6.12.2.4.20.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{117}{4} + 12 (\frac{9}{2} - 0)$

Этап 6.12.2.4.21

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{117}{4} + 12 (\frac{9}{2} + 0)$

Этап 6.12.2.4.22

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$- \frac{117}{4} + 12 (\frac{9}{2})$

Этап 6.12.2.4.23

Объединим $12$ и $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{12 \cdot 9}{2}$

Этап 6.12.2.4.24

Умножим $12$ на $9$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{108}{2}$

Этап 6.12.2.4.25

Сократим общий множитель $108$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.25.1

Вынесем множитель $2$ из $108$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{2 \cdot 54}{2}$

Этап 6.12.2.4.25.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.25.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{2 \cdot 54}{2 (1)}$

Этап 6.12.2.4.25.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{117}{4} + \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.4.25.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{117}{4} + \frac{54}{1}$

Этап 6.12.2.4.25.2.4

Разделим $54$ на $1$ .

$- \frac{117}{4} + 54$

Этап 6.12.2.4.26

Чтобы записать $54$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{117}{4} + 54 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.12.2.4.27

Объединим $54$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{117}{4} + \frac{54 \cdot 4}{4}$

Этап 6.12.2.4.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 117 + 54 \cdot 4}{4}$

Этап 6.12.2.4.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.29.1

Умножим $54$ на $4$ .

$\frac{- 117 + 216}{4}$

Этап 6.12.2.4.29.2

Добавим $- 117$ и $216$ .

$\frac{99}{4}$

Этап 7

Сложим площади $\frac{160}{3} + \frac{99}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $\frac{160}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{160}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{99}{4}$

Этап 7.2

Чтобы записать $\frac{99}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{160}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{99}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{160}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{160 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{99}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{160 \cdot 4}{12} + \frac{99}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.3.3

Умножим $\frac{99}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{160 \cdot 4}{12} + \frac{99 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 7.3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{160 \cdot 4}{12} + \frac{99 \cdot 3}{12}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{160 \cdot 4 + 99 \cdot 3}{12}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $160$ на $4$ .

$\frac{640 + 99 \cdot 3}{12}$

Этап 7.5.2

Умножим $99$ на $3$ .

$\frac{640 + 297}{12}$

Этап 7.5.3

Добавим $640$ и $297$ .

$\frac{937}{12}$

Этап 8