Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{3}$ , $x = 1$ , $x = 6$ , $n = 5$

Этап 1

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{6} 2 x^{3} d x - \int_{1}^{6} 5 d x$

Этап 2

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{6} 2 x^{3} - (5) d x$

Этап 2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\int_{1}^{6} 2 x^{3} - 5 d x$

Этап 2.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{6} 2 x^{3} d x + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Этап 2.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{6} x^{3} d x + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Этап 2.5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Этап 2.6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Этап 2.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{6}) + - 5 x]_{1}^{6}$

Этап 2.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $6$ и в $1$ .

$2 ((\frac{6^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + - 5 x]_{1}^{6}$

Этап 2.8.2

Найдем значение $- 5 x$ в $6$ и в $1$ .

$2 (\frac{6^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Возведем $6$ в степень $4$ .

$2 (\frac{1296}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.2

Сократим общий множитель $1296$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $1296$ .

$2 (\frac{4 \cdot 324}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$2 (\frac{4 \cdot 324}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{4 \cdot 324}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{324}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.2.2.4

Разделим $324$ на $1$ .

$2 (324 - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 (324 - \frac{1}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.4

Чтобы записать $324$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 (324 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.5

Объединим $324$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{324 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{324 \cdot 4 - 1}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.7.1

Умножим $324$ на $4$ .

$2 \frac{1296 - 1}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.7.2

Вычтем $1$ из $1296$ .

$2 (\frac{1295}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.8

Объединим $2$ и $\frac{1295}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 1295}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.9

Умножим $2$ на $1295$ .

$\frac{2590}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.10

Сократим общий множитель $2590$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $2590$ .

$\frac{2 (1295)}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1295}{2 \cdot 2} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1295}{2 \cdot 2} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1295}{2} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.11

Умножим $- 5$ на $6$ .

$\frac{1295}{2} - 30 + 5 \cdot 1$

Этап 2.8.3.12

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1295}{2} - 30 + 5$

Этап 2.8.3.13

Добавим $- 30$ и $5$ .

$\frac{1295}{2} - 25$

Этап 2.8.3.14

Чтобы записать $- 25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1295}{2} - 25 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.8.3.15

Объединим $- 25$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1295}{2} + \frac{- 25 \cdot 2}{2}$

Этап 2.8.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1295 - 25 \cdot 2}{2}$

Этап 2.8.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.17.1

Умножим $- 25$ на $2$ .

$\frac{1295 - 50}{2}$

Этап 2.8.3.17.2

Вычтем $50$ из $1295$ .

$\frac{1245}{2}$

Этап 3