Математический анализ Примеры

$y = 25 - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = - 3$ , $x = 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$25 - x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $25 - x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 25$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 25$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 25$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 25$ на $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Этап 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Этап 1.2.4

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Этап 1.3

Подставим $5$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(5, 0)$

$(- 5, 0)$

$(5, 0)$

$(- 5, 0)$

Этап 2

Изменим порядок $25$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 25$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 3}^{2} - x^{2} + 25 d x - \int_{- 3}^{2} 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 3$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} + 25 - (0) d x$

Этап 4.2

Вычтем $0$ из $- x^{2} + 25$ .

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} + 25 d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} 25 d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} 25 d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 25 d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 25 d x$

Этап 4.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + 25 x]_{- 3}^{2}$

Этап 4.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $- 3$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 25 x]_{- 3}^{2}$

Этап 4.8.2

Найдем значение $25 x$ в $2$ и в $- 3$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 27}{3}) + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.3

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 9}{1}) + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.3.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$- (\frac{8}{3} - - 9) + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.4

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$- (\frac{8}{3} + 9) + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.5

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.6

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.8.1

Умножим $9$ на $3$ .

$- \frac{8 + 27}{3} + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.8.2

Добавим $8$ и $27$ .

$- \frac{35}{3} + 25 \cdot 2 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.9

Умножим $25$ на $2$ .

$- \frac{35}{3} + 50 - 25 \cdot - 3$

Этап 4.8.3.10

Умножим $- 25$ на $- 3$ .

$- \frac{35}{3} + 50 + 75$

Этап 4.8.3.11

Добавим $50$ и $75$ .

$- \frac{35}{3} + 125$

Этап 4.8.3.12

Чтобы записать $125$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} + 125 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.8.3.13

Объединим $125$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{125 \cdot 3}{3}$

Этап 4.8.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 35 + 125 \cdot 3}{3}$

Этап 4.8.3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.15.1

Умножим $125$ на $3$ .

$\frac{- 35 + 375}{3}$

Этап 4.8.3.15.2

Добавим $- 35$ и $375$ .

$\frac{340}{3}$

Этап 5