Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{2} - 5 x + 5$ , $y = x^{2} + 7 x - 15$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x^{2} - 5 x + 5 = x^{2} + 7 x - 15$

Этап 1.2

Решим $2 x^{2} - 5 x + 5 = x^{2} + 7 x - 15$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 5 x + 5 - x^{2} = 7 x - 15$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $7 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 5 x + 5 - x^{2} - 7 x = - 15$

Этап 1.2.1.3

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 5 x + 5 - 7 x = - 15$

Этап 1.2.1.4

Вычтем $7 x$ из $- 5 x$ .

$x^{2} - 12 x + 5 = - 15$

Этап 1.2.2

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 12 x + 5 + 15 = 0$

Этап 1.2.3

Добавим $5$ и $15$ .

$x^{2} - 12 x + 20 = 0$

Этап 1.2.4

Разложим $x^{2} - 12 x + 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $20$ , а сумма — $- 12$ .

$- 10, - 2 + y = x^{2} + 7 x - 15$

Этап 1.2.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 10) (x - 2) = 0$

Этап 1.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 2 = 0 + y = x^{2} + 7 x - 15$

Этап 1.2.6

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 1.2.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 10) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 10, 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $10$ вместо $x$ .

$y = {(10)}^{2} + 7 (10) - 15$

Этап 1.3.2

Подставим $10$ вместо $x$ в $y = {(10)}^{2} + 7 (10) - 15$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 10^{2} + 7 (10) - 15$

Этап 1.3.2.2

Упростим $10^{2} + 7 (10) - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$y = 100 + 7 (10) - 15$

Этап 1.3.2.2.1.2

Умножим $7$ на $10$ .

$y = 100 + 70 - 15$

Этап 1.3.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.2.1

Добавим $100$ и $70$ .

$y = 170 - 15$

Этап 1.3.2.2.2.2

Вычтем $15$ из $170$ .

$y = 155$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = {(2)}^{2} + 7 (2) - 15$

Этап 1.4.2

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = {(2)}^{2} + 7 (2) - 15$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2^{2} + 7 (2) - 15$

Этап 1.4.2.2

Упростим $2^{2} + 7 (2) - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 4 + 7 (2) - 15$

Этап 1.4.2.2.1.2

Умножим $7$ на $2$ .

$y = 4 + 14 - 15$

Этап 1.4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.1

Добавим $4$ и $14$ .

$y = 18 - 15$

Этап 1.4.2.2.2.2

Вычтем $15$ из $18$ .

$y = 3$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(10, 155)$

$(2, 3)$

$(10, 155)$

$(2, 3)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 d x - \int_{2}^{10} 2 x^{2} - 5 x + 5 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $2$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 - (2 x^{2} - 5 x + 5) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 7 x - 15 - (2 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 5$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 5$

Этап 3.2.2.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 5$

Этап 3.2.2.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 5$

$\int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 5 d x$

Этап 3.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- x^{2} + 7 x - 15 + 5 x - 5$

Этап 3.3.2

Добавим $7 x$ и $5 x$ .

$- x^{2} + 12 x - 15 - 5$

Этап 3.3.3

Вычтем $5$ из $- 15$ .

$- x^{2} + 12 x - 20$

$\int_{2}^{10} - x^{2} + 12 x - 20 d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{10} - x^{2} d x + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{2}^{10} x^{2} d x + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Этап 3.8

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 \int_{2}^{10} x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Этап 3.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Этап 3.11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + - 20 x]_{2}^{10}$

Этап 3.12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $10$ и в $2$ .

$- ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + - 20 x]_{2}^{10}$

Этап 3.12.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $10$ и в $2$ .

$- (\frac{10^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + - 20 x]_{2}^{10}$

Этап 3.12.3

Найдем значение $- 20 x$ в $10$ и в $2$ .

$- (\frac{10^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.1

Возведем $10$ в степень $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1000 - 8}{3} + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.4

Вычтем $8$ из $1000$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.5

Возведем $10$ в степень $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{100}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.6

Сократим общий множитель $100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $100$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{50}{1} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.6.2.4

Разделим $50$ на $1$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{4}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.8

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2}{1}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.8.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - 1 \cdot 2) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - 2) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.10

Вычтем $2$ из $50$ .

$- \frac{992}{3} + 12 \cdot 48 + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.11

Умножим $12$ на $48$ .

$- \frac{992}{3} + 576 + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.12

Чтобы записать $576$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{992}{3} + 576 \cdot \frac{3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.13

Объединим $576$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{992}{3} + \frac{576 \cdot 3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 992 + 576 \cdot 3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.15.1

Умножим $576$ на $3$ .

$\frac{- 992 + 1728}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.15.2

Добавим $- 992$ и $1728$ .

$\frac{736}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.16

Умножим $- 20$ на $10$ .

$\frac{736}{3} - 200 + 20 \cdot 2$

Этап 3.12.4.17

Умножим $20$ на $2$ .

$\frac{736}{3} - 200 + 40$

Этап 3.12.4.18

Добавим $- 200$ и $40$ .

$\frac{736}{3} - 160$

Этап 3.12.4.19

Чтобы записать $- 160$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{736}{3} - 160 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.12.4.20

Объединим $- 160$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{736}{3} + \frac{- 160 \cdot 3}{3}$

Этап 3.12.4.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{736 - 160 \cdot 3}{3}$

Этап 3.12.4.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.22.1

Умножим $- 160$ на $3$ .

$\frac{736 - 480}{3}$

Этап 3.12.4.22.2

Вычтем $480$ из $736$ .

$\frac{256}{3}$

Этап 4