Математический анализ Примеры

$y = 7 x^{2}$ , $x = 1$ , $x = 4$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$7 x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $7 x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $7 x^{2} = 0$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разделим каждый член $7 x^{2} = 0$ на $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Этап 1.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Этап 1.2.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{7}$

Этап 1.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Разделим $0$ на $7$ .

$x^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.2.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.2.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{4} 7 x^{2} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{4} 7 x^{2} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $7 x^{2}$ .

$\int_{1}^{4} 7 x^{2} d x$

Этап 3.3

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

Этап 3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Этап 3.5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $1$ .

$7 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 3.5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 3.5.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$7 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 3.5.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 \frac{64 - 1}{3}$

Этап 3.5.2.2.4

Вычтем $1$ из $64$ .

$7 (\frac{63}{3})$

Этап 3.5.2.2.5

Сократим общий множитель $63$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $63$ .

$7 \frac{3 \cdot 21}{3}$

Этап 3.5.2.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$7 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

Этап 3.5.2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$7 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$7 (\frac{21}{1})$

Этап 3.5.2.2.5.2.4

Разделим $21$ на $1$ .

$7 \cdot 21$

Этап 3.5.2.2.6

Умножим $7$ на $21$ .

$147$

Этап 4