Математический анализ Примеры

$y = \ln (x)$ , $y = x^{2} - 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\ln (x) = x^{2} - 2$

Этап 1.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx 0.13793482, 1.56446225 + y = x^{2} - 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0.13793482$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0.13793482$ вместо $x$ .

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Этап 1.3.2

Подставим $0.13793482$ вместо $x$ в $y = {(0.13793482)}^{2} - 2$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = {0.13793482}^{2} - 2$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Этап 1.3.2.3

Упростим ${(0.13793482)}^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Возведем $0.13793482$ в степень $2$ .

$y = 0.01902601 - 2$

Этап 1.3.2.3.2

Вычтем $2$ из $0.01902601$ .

$y = - 1.98097398$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 1.56446225$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $1.56446225$ вместо $x$ .

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Этап 1.4.2

Подставим $1.56446225$ вместо $x$ в $y = {(1.56446225)}^{2} - 2$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = {1.56446225}^{2} - 2$

Этап 1.4.2.2

Избавимся от скобок.

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Этап 1.4.2.3

Упростим ${(1.56446225)}^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Возведем $1.56446225$ в степень $2$ .

$y = 2.44754216 - 2$

Этап 1.4.2.3.2

Вычтем $2$ из $2.44754216$ .

$y = 0.44754216$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} - 2 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0.13793482$ и $1.56446225$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - (x^{2} - 2) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x) - x^{2} - - 2$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\ln (x) - x^{2} + 2$

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - x^{2} + 2 d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Этап 3.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x \frac{1}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Этап 3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Этап 3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Этап 3.8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Этап 3.10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$

Этап 3.11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Объединим $\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ и $2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ .

$\ln (x) x + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Этап 3.11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Найдем значение $\ln (x) x + 2 x$ в $1.56446225$ и в $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Этап 3.11.2.2

Найдем значение $x$ в $1.56446225$ и в $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Этап 3.11.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1.56446225$ и в $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.1

Умножим $\ln (1.56446225)$ на $1.56446225$ .

$0.70016281 + 2 \cdot 1.56446225 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.2

Умножим $2$ на $1.56446225$ .

$0.70016281 + 3.12892451 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.3

Добавим $0.70016281$ и $3.12892451$ .

$3.82908733 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.4

Умножим $\ln (0.13793482)$ на $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.5

Умножим $2$ на $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 0.27586965) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.6

Добавим $- 0.2732453$ и $0.27586965$ .

$3.82908733 - 1 \cdot 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.7

Умножим $- 1$ на $0.00262435$ .

$3.82908733 - 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.8

Вычтем $0.00262435$ из $3.82908733$ .

$3.82646298 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.9

Вычтем $0.13793482$ из $1.56446225$ .

$3.82646298 - 1 \cdot 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.10

Умножим $- 1$ на $1.42652743$ .

$3.82646298 - 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.11

Вычтем $1.42652743$ из $3.82646298$ .

$2.39993555 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.12

Возведем $1.56446225$ в степень $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.13

Возведем $0.13793482$ в степень $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{0.00262435}{3})$

Этап 3.11.2.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$2.39993555 - \frac{3.82908733 - 0.00262435}{3}$

Этап 3.11.2.4.15

Вычтем $0.00262435$ из $3.82908733$ .

$2.39993555 - \frac{3.82646298}{3}$

Этап 3.11.2.4.16

Чтобы записать $2.39993555$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2.39993555 \cdot \frac{3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Этап 3.11.2.4.17

Объединим $2.39993555$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2.39993555 \cdot 3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Этап 3.11.2.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2.39993555 \cdot 3 - 3.82646298}{3}$

Этап 3.11.2.4.19

Умножим $2.39993555$ на $3$ .

$\frac{7.19980666 - 3.82646298}{3}$

Этап 3.11.2.4.20

Вычтем $3.82646298$ из $7.19980666$ .

$\frac{3.37334367}{3}$

Этап 3.12

Разделим $3.37334367$ на $3$ .

$1.12444789$

Этап 4