Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + x$ , $x = 6$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} + x = 0$

Этап 1.2

Решим $x^{2} + x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 1.2.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Этап 1.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0 + y = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 0 d x - \int_{- 1}^{0} x^{2} + x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{0} 0 - (x^{2} + x) d x$

Этап 3.2

Вычтем $x^{2} + x$ из $0$ .

$\int_{- 1}^{0} - (x^{2} + x) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 1}^{0} - x^{2} - x d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - \int_{- 1}^{0} x d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $0$ и в $- 1$ .

$- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 1$ .

$- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- (0 - \frac{- 1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (0 - - \frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (0 + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.6

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- (0 + \frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.7

Добавим $0$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{3} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{1}{3} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.10

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{3} - (0 - \frac{1}{2})$

Этап 3.10.2.3.11

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$- \frac{1}{3} - - \frac{1}{2}$

Этап 3.10.2.3.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 3.10.2.3.13

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Этап 3.10.2.3.14

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.10.2.3.15

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.10.2.3.16

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.16.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.10.2.3.16.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.10.2.3.16.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Этап 3.10.2.3.16.4

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Этап 3.10.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 + 3}{6}$

Этап 3.10.2.3.18

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 4

$A r e a = \int_{0}^{6} x^{2} + x d x - \int_{0}^{6} 0 d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{6} x^{2} + x - (0) d x$

Этап 5.2

Вычтем $0$ из $x^{2} + x$ .

$\int_{0}^{6} x^{2} + x d x$

Этап 5.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} x d x$

Этап 5.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} x d x$

Этап 5.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Этап 5.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}$ и $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Этап 5.6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ в $6$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $216$ .

$\frac{216}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.3

Сократим общий множитель $216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{72}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.3.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 36 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $36$ .

$72 + \frac{36}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.6

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$72 + \frac{18}{1} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.6.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$72 + 18 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.7

Добавим $72$ и $18$ .

$90 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$90 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.9

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$90 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 5.6.2.2.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$90 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Этап 5.6.2.2.11

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$90 - (0 + 0)$

Этап 5.6.2.2.12

Добавим $0$ и $0$ .

$90 - 0$

Этап 5.6.2.2.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$90 + 0$

Этап 5.6.2.2.14

Добавим $90$ и $0$ .

$90$

Этап 6

Сложим площади $\frac{1}{6} + 90$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $90$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} + 90 \cdot \frac{6}{6}$

Этап 6.2

Объединим $90$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} + \frac{90 \cdot 6}{6}$

Этап 6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 90 \cdot 6}{6}$

Этап 6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $90$ на $6$ .

$\frac{1 + 540}{6}$

Этап 6.4.2

Добавим $1$ и $540$ .

$\frac{541}{6}$

Этап 7