Математический анализ Примеры

$y = \cos (11 x)$ , $y = 0$ , $x = \frac{π}{22}$ , $x = \frac{π}{11}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\cos (11 x) = 0$

Этап 1.2

Решим $\cos (11 x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$11 x = \arccos (0)$

Этап 1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$11 x = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $11 x = \frac{π}{2}$ на $11$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $11 x = \frac{π}{2}$ на $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Этап 1.2.3.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 11}$

Этап 1.2.3.3.2.2

Умножим $2$ на $11$ .

$x = \frac{π}{22}$

Этап 1.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$11 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$11 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.5.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$11 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$11 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.5.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$11 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 1.2.5.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$11 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.5.2

Разделим каждый член $11 x = \frac{3 π}{2}$ на $11$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Разделим каждый член $11 x = \frac{3 π}{2}$ на $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Этап 1.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Этап 1.2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Этап 1.2.5.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 11}$

Этап 1.2.5.2.3.2.2

Умножим $2$ на $11$ .

$x = \frac{3 π}{22}$

Этап 1.2.6

Найдем период $\cos (11 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.6.2

Заменим $b$ на $11$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 11 |}$

Этап 1.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $11$ равно $11$ .

$\frac{2 π}{11}$

Этап 1.2.7

Период функции $\cos (11 x)$ равен $\frac{2 π}{11}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{11}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{22} + \frac{2 π n}{11}, \frac{3 π}{22} + \frac{2 π n}{11}$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Подставим $\frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Перечислим все решения.

$y = 0, x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 d x - \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $\frac{π}{22}$ и $\frac{π}{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 - (\cos (11 x)) d x$

Этап 3.2

Вычтем $\cos (11 x)$ из $0$ .

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} - \cos (11 x) d x$

Этап 3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Этап 3.4

Пусть $u = 11 x$ . Тогда $d u = 11 d x$ , следовательно $\frac{1}{11} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Пусть $u = 11 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Дифференцируем $11 x$ .

$\frac{d}{d x} [11 x]$

Этап 3.4.1.2

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11 x$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$11 \cdot 1$

Этап 3.4.1.4

Умножим $11$ на $1$ .

$11$

Этап 3.4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 11 x$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{22}$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $11$ из $22$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 (2)}$

Этап 3.4.3.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 \cdot 2}$

Этап 3.4.3.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Этап 3.4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 11 x$ .

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Этап 3.4.5

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Этап 3.4.5.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π$

Этап 3.4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Этап 3.4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{11} d u$

Этап 3.5

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{11}$ .

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{11} d u$

Этап 3.6

Поскольку $\frac{1}{11}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{11}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{11} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u)$

Этап 3.7

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{11} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

Этап 3.8

Найдем значение $\sin (u)$ в $π$ и в $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Этап 3.9.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1)$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{1}{11} (\sin (0) - 1)$

Этап 3.10.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- \frac{1}{11} (0 - 1)$

Этап 3.10.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$

Этап 3.10.3

Умножим $- \frac{1}{11} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{11})$

Этап 3.10.3.2

Умножим $\frac{1}{11}$ на $1$ .

$\frac{1}{11}$

Этап 4