Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - 2 x + 3$ , $y = 4 - 2 x$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} - 2 x + 3 = 4 - 2 x$

Этап 1.2

Решим $x^{2} - 2 x + 3 = 4 - 2 x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 2 x + 3 + 2 x = 4$

Этап 1.2.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 2 x + 3 + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$x^{2} + 0 + 3 = 4$

Этап 1.2.1.2.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} + 3 = 4$

Этап 1.2.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = 4 - 3$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$x^{2} = 1$

Этап 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 1.2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = 4 - 2 \cdot 1$

Этап 1.3.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = 4 - 2 \cdot 1$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4 - 2 \cdot 1$

Этап 1.3.2.2

Упростим $4 - 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$y = 4 - 2$

Этап 1.3.2.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$y = 2$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = 4 - 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.2

Подставим $- 1$ вместо $x$ в $y = 4 - 2 \cdot - 1$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4 - 2 \cdot - 1$

Этап 1.4.2.2

Упростим $4 - 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = 4 + 2$

Этап 1.4.2.2.2

Добавим $4$ и $2$ .

$y = 6$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 2)$

$(- 1, 6)$

$(1, 2)$

$(- 1, 6)$

Этап 2

Изменим порядок $4$ и $- 2 x$ .

$y = - 2 x + 4$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - 2 x + 4 d x - \int_{- 1}^{1} x^{2} - 2 x + 3 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{1} - 2 x + 4 - (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x + 4 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 3$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 2 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 3$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 2 x + 4 - x^{2} + 2 x - 3$

$\int_{- 1}^{1} - 2 x + 4 - x^{2} + 2 x - 3 d x$

Этап 4.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим противоположные члены в $- 2 x + 4 - x^{2} + 2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$4 - x^{2} + 0 - 3$

Этап 4.3.1.2

Добавим $4 - x^{2}$ и $0$ .

$4 - x^{2} - 3$

Этап 4.3.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$- x^{2} + 1$

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

Этап 4.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x$

Этап 4.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x$

Этап 4.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1}$

Этап 4.9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1}$

Этап 4.9.2

Найдем значение $x$ в $1$ и в $- 1$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1$

Этап 4.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1$

Этап 4.9.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1$

Этап 4.9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 1 + 1$

Этап 4.9.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1$

Этап 4.9.3.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1$

Этап 4.9.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1 + 1}{3} + 1 + 1$

Этап 4.9.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{2}{3} + 1 + 1$

Этап 4.9.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{2}{3} + 2$

Этап 4.9.3.9

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.9.3.10

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Этап 4.9.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Этап 4.9.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.12.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{- 2 + 6}{3}$

Этап 4.9.3.12.2

Добавим $- 2$ и $6$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 5