Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + 2 x$ , $x = 1$ , $x = 3$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} + 2 x = 0$

Этап 1.2

Решим $x^{2} + 2 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + 2 x = 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 2 = 0$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$x (x + 2) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0 + y = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(- 2, 0)$

$(0, 0)$

$(- 2, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{2} + 2 x d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{3} x^{2} + 2 x - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $x^{2} + 2 x$ .

$\int_{1}^{3} x^{2} + 2 x d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 2 x d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} 2 x d x$

Этап 3.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 \int_{1}^{3} x d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Этап 3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 3.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $3$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 3.7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.3

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.3.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$9 - \frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 - \frac{1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.7

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.9.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{27 - 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9.2

Вычтем $1$ из $27$ .

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 3.7.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{26}{3} + 2 \frac{9 - 1}{2}$

Этап 3.7.2.3.13

Вычтем $1$ из $9$ .

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{8}{2})$

Этап 3.7.2.3.14

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.14.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{26}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Этап 3.7.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{26}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Этап 3.7.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{26}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{4}{1})$

Этап 3.7.2.3.14.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{26}{3} + 2 \cdot 4$

Этап 3.7.2.3.15

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{26}{3} + 8$

Этап 3.7.2.3.16

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{26}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.7.2.3.17

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{26}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Этап 3.7.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{26 + 8 \cdot 3}{3}$

Этап 3.7.2.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.19.1

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{26 + 24}{3}$

Этап 3.7.2.3.19.2

Добавим $26$ и $24$ .

$\frac{50}{3}$

Этап 4