Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ , $y = 20 - x$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} = 20 - x$

Этап 1.2

Решим $x^{2} = 20 - x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + x = 20$

Этап 1.2.2

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 20 = 0$

Этап 1.2.3

Разложим $x^{2} + x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $1$ .

$- 4, 5 + y = 20 - x$

Этап 1.2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0 + y = 20 - x$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.2.6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 4, - 5$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = 20 - (4)$

Этап 1.3.2

Упростим $20 - (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = 20 - 4$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $4$ из $20$ .

$y = 16$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 5$ вместо $x$ .

$y = 20 - (- 5)$

Этап 1.4.2

Упростим $20 - (- 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$y = 20 + 5$

Этап 1.4.2.2

Добавим $20$ и $5$ .

$y = 25$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(4, 16)$

$(- 5, 25)$

$(4, 16)$

$(- 5, 25)$

Этап 2

Изменим порядок $20$ и $- x$ .

$y = - x + 20$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 5}^{4} - x + 20 d x - \int_{- 5}^{4} x^{2} d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 5$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 5}^{4} - x + 20 - (x^{2}) d x$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $x^{2}$ .

$\int_{- 5}^{4} - x + 20 - x^{2} d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 5}^{4} - x d x + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 5}^{4} x d x + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{4}) + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Этап 4.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Этап 4.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} - \int_{- 5}^{4} x^{2} d x$

Этап 4.9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{4})$

Этап 4.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{4})$

Этап 4.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $- 5$ .

$- ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 x]_{- 5}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{4})$

Этап 4.10.2.2

Найдем значение $20 x$ в $4$ и в $- 5$ .

$- (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{4})$

Этап 4.10.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $- 5$ .

$- (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- (\frac{16}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$- (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{8}{1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$- (8 - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.3

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$- (8 - \frac{25}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.4

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.5

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{8 \cdot 2 - 25}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.7.1

Умножим $8$ на $2$ .

$- \frac{16 - 25}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.7.2

Вычтем $25$ из $16$ .

$- \frac{- 9}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{9}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{9}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.10

Умножим $\frac{9}{2}$ на $1$ .

$\frac{9}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.11

Умножим $20$ на $4$ .

$\frac{9}{2} + 80 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.12

Умножим $- 20$ на $- 5$ .

$\frac{9}{2} + 80 + 100 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.13

Добавим $80$ и $100$ .

$\frac{9}{2} + 180 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.14

Чтобы записать $180$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 180 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.15

Объединим $180$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{180 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 + 180 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.17.1

Умножим $180$ на $2$ .

$\frac{9 + 360}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.17.2

Добавим $9$ и $360$ .

$\frac{369}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.18

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Этап 4.10.2.4.19

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 125}{3})$

Этап 4.10.2.4.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{125}{3})$

Этап 4.10.2.4.21

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{125}{3}))$

Этап 4.10.2.4.22

Умножим $\frac{125}{3}$ на $1$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{125}{3})$

Этап 4.10.2.4.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{369}{2} - \frac{64 + 125}{3}$

Этап 4.10.2.4.24

Добавим $64$ и $125$ .

$\frac{369}{2} - \frac{189}{3}$

Этап 4.10.2.4.25

Сократим общий множитель $189$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.25.1

Вынесем множитель $3$ из $189$ .

$\frac{369}{2} - \frac{3 \cdot 63}{3}$

Этап 4.10.2.4.25.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.25.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{369}{2} - \frac{3 \cdot 63}{3 (1)}$

Этап 4.10.2.4.25.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{369}{2} - \frac{3 \cdot 63}{3 \cdot 1}$

Этап 4.10.2.4.25.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{369}{2} - \frac{63}{1}$

Этап 4.10.2.4.25.2.4

Разделим $63$ на $1$ .

$\frac{369}{2} - 1 \cdot 63$

Этап 4.10.2.4.26

Умножим $- 1$ на $63$ .

$\frac{369}{2} - 63$

Этап 4.10.2.4.27

Чтобы записать $- 63$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{369}{2} - 63 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.10.2.4.28

Объединим $- 63$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{369}{2} + \frac{- 63 \cdot 2}{2}$

Этап 4.10.2.4.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{369 - 63 \cdot 2}{2}$

Этап 4.10.2.4.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.30.1

Умножим $- 63$ на $2$ .

$\frac{369 - 126}{2}$

Этап 4.10.2.4.30.2

Вычтем $126$ из $369$ .

$\frac{243}{2}$

Этап 5