Математический анализ Примеры

$y = - x^{2} + 4$ , $y = 3 x$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$- x^{2} + 4 = 3 x$

Этап 1.2

Решим $- x^{2} + 4 = 3 x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} + 4 - 3 x = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 4 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Перенесем $4$ .

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 3 x + 4 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$- (x^{2}) - (3 x) + 4 = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (3 x)$ .

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Этап 1.2.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 4)$ .

$- (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Разложим $x^{2} + 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $3$ .

$- 1, 4 + y = 3 x$

Этап 1.2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 1) (x + 4) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0 + y = 3 x$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 1) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 1, - 4$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = 3 (1)$

Этап 1.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$y = 3$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 4$ вместо $x$ .

$y = 3 (- 4)$

Этап 1.4.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$y = - 12$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 3)$

$(- 4, - 12)$

$(1, 3)$

$(- 4, - 12)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 4}^{1} - x^{2} + 4 d x - \int_{- 4}^{1} 3 x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 4$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 4}^{1} - x^{2} + 4 - (3 x) d x$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int_{- 4}^{1} - x^{2} + 4 - 3 x d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 4}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 4}^{1} x^{2} d x + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{1}) + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Этап 3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 \int_{- 4}^{1} x d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{1})$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1})$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 4$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1})$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $4 x$ в $1$ и в $- 4$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1})$

Этап 3.10.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 4$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.2

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{- 64}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{1}{3} - - \frac{64}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{64}{3})) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.5

Умножим $\frac{64}{3}$ на $1$ .

$- (\frac{1}{3} + \frac{64}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1 + 64}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.7

Добавим $1$ и $64$ .

$- \frac{65}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.8

Умножим $4$ на $1$ .

$- \frac{65}{3} + 4 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.9

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$- \frac{65}{3} + 4 + 16 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.10

Добавим $4$ и $16$ .

$- \frac{65}{3} + 20 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.11

Чтобы записать $20$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{65}{3} + 20 \cdot \frac{3}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.12

Объединим $20$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{65}{3} + \frac{20 \cdot 3}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 65 + 20 \cdot 3}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.14.1

Умножим $20$ на $3$ .

$\frac{- 65 + 60}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.14.2

Добавим $- 65$ и $60$ .

$\frac{- 5}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.16

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.17

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{16}{2})$

Этап 3.10.2.4.18

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.18.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Этап 3.10.2.4.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Этап 3.10.2.4.18.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Этап 3.10.2.4.18.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{8}{1})$

Этап 3.10.2.4.18.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 8)$

Этап 3.10.2.4.19

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - 8)$

Этап 3.10.2.4.20

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.10.2.4.21

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})$

Этап 3.10.2.4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{5}{3} - 3 \frac{1 - 8 \cdot 2}{2}$

Этап 3.10.2.4.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.23.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$- \frac{5}{3} - 3 \frac{1 - 16}{2}$

Этап 3.10.2.4.23.2

Вычтем $16$ из $1$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{- 15}{2})$

Этап 3.10.2.4.24

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{3} - 3 (- \frac{15}{2})$

Этап 3.10.2.4.25

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- \frac{5}{3} + 3 (\frac{15}{2})$

Этап 3.10.2.4.26

Объединим $3$ и $\frac{15}{2}$ .

$- \frac{5}{3} + \frac{3 \cdot 15}{2}$

Этап 3.10.2.4.27

Умножим $3$ на $15$ .

$- \frac{5}{3} + \frac{45}{2}$

Этап 3.10.2.4.28

Чтобы записать $- \frac{5}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2}$

Этап 3.10.2.4.29

Чтобы записать $\frac{45}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.10.2.4.30

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.30.1

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.10.2.4.30.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.10.2.4.30.3

Умножим $\frac{45}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{45 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 3.10.2.4.30.4

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{45 \cdot 3}{6}$

Этап 3.10.2.4.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 5 \cdot 2 + 45 \cdot 3}{6}$

Этап 3.10.2.4.32

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.32.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{- 10 + 45 \cdot 3}{6}$

Этап 3.10.2.4.32.2

Умножим $45$ на $3$ .

$\frac{- 10 + 135}{6}$

Этап 3.10.2.4.32.3

Добавим $- 10$ и $135$ .

$\frac{125}{6}$

Этап 4