Математический анализ Примеры

$y = x^{6}$ , $y = 8 x^{3}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{6} = 8 x^{3}$

Этап 1.2

Решим $x^{6} = 8 x^{3}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $8 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$x^{6} - 8 x^{3} = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 8 x^{3} = 0$

Этап 1.2.2.2

Пусть $u = x^{3}$ . Подставим $u$ вместо $x^{3}$ для всех.

$u^{2} - 8 u = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} - 8 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u - 8 u = 0$

Этап 1.2.2.3.2

Вынесем множитель $u$ из $- 8 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 8 = 0$

Этап 1.2.2.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot - 8$ .

$u (u - 8) = 0$

Этап 1.2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$x^{3} (x^{3} - 8) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$x^{3} - 8 = 0 + y = 8 x^{3}$

Этап 1.2.4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 1.2.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x^{3} - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x^{3} - 8$ к $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $x^{3} - 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} = 8$

Этап 1.2.5.2.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 8 = 0$

Этап 1.2.5.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Этап 1.2.5.2.3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 1.2.5.2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.3.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Этап 1.2.5.2.3.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Этап 1.2.5.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 8 x^{3}$

Этап 1.2.5.2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.5.2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.5.2.6

Приравняем $x^{2} + 2 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.1

Приравняем $x^{2} + 2 x + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Этап 1.2.5.2.6.2

Решим $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 x^{3}$

Этап 1.2.5.2.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 8 x^{3}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.6.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{3} (x^{3} - 8) = 0$ верно.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 8 {(0)}^{3}$

Этап 1.3.2

Подставим $0$ вместо $x$ в $y = 8 {(0)}^{3}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 8 \cdot 0^{3}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $8 \cdot 0^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 8 \cdot 0$

Этап 1.3.2.2.2

Умножим $8$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = 8 {(2)}^{3}$

Этап 1.4.2

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = 8 {(2)}^{3}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 8 \cdot 2^{3}$

Этап 1.4.2.2

Упростим $8 \cdot 2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y = 8 \cdot 8$

Этап 1.4.2.2.2

Умножим $8$ на $8$ .

$y = 64$

Этап 1.5

Перечислим все решения.

$y = 0, x = 0$

$y = 64, x = 2$

$y = 64, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 64, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 64, x = 2$

$y = 64, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 64, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 2

Область между данными кривыми не ограничена.

Неограниченная область

Этап 3