Математический анализ Примеры

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$ , $y = 19 x + 52$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} = 19 x + 52$

Этап 1.2

Решим $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} = 19 x + 52$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $19 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x = 52$

Этап 1.2.2

Вычтем $52$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52 = 0$

Этап 1.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разложим $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 8 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 8 \cdot - 1 + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.3.4

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$1 + 8 + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.3.5

Добавим $1$ и $8$ .

$9 + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.3.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$9 + 24 \cdot 1 - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.3.7

Умножим $24$ на $1$ .

$9 + 24 - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.3.8

Добавим $9$ и $24$ .

$33 - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.3.9

Умножим $- 19$ на $- 1$ .

$33 + 19 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.3.10

Добавим $33$ и $19$ .

$52 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.3.11

Вычтем $52$ из $52$ .

$0 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52}{x + 1} + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.5

Разделим $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

Этап 1.2.3.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

Этап 1.2.3.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 1.2.3.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + x^{3}$ .

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Этап 1.2.3.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$9 x^{3}$

Этап 1.2.3.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

Этап 1.2.3.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

Этап 1.2.3.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	-	$9 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$9 x^{3}$	+	$24 x^{2}$
					-	$9 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Этап 1.2.3.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 x^{3} - 9 x^{2}$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

Этап 1.2.3.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

Этап 1.2.3.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

Этап 1.2.3.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $33 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

Этап 1.2.3.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

Этап 1.2.3.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $33 x^{2} + 33 x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

Этап 1.2.3.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

Этап 1.2.3.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

Этап 1.2.3.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 52 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

Этап 1.2.3.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$9 x^{3}$	+	$24 x^{2}$
					+	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
							+	$33 x^{2}$	-	$19 x$
							-	$33 x^{2}$	-	$33 x$
									-	$52 x$	-	$52$
									-	$52 x$	-	$52$

Этап 1.2.3.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 52 x - 52$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

$52 x$

$52$

Этап 1.2.3.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

$52 x$

$52$

$0$

Этап 1.2.3.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.1.6

Запишем $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52) = 0$

Этап 1.2.3.2

Разложим $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Разложим $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.2.1.3

Подставим $4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.3.1

Подставим $4$ в многочлен.

$4^{3} - 9 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.2.1.3.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$64 - 9 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.2.1.3.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$64 - 9 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.2.1.3.4

Умножим $- 9$ на $16$ .

$64 - 144 + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.2.1.3.5

Вычтем $144$ из $64$ .

$- 80 + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.2.1.3.6

Умножим $33$ на $4$ .

$- 80 + 132 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.2.1.3.7

Добавим $- 80$ и $132$ .

$52 - 52 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.2.1.3.8

Вычтем $52$ из $52$ .

$0 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.2.1.4

Поскольку $4$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52}{x - 4} + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.2.1.5

Разделим $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ на $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.5.1

$x$

$4$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

Этап 1.2.3.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$

Этап 1.2.3.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$

Этап 1.2.3.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$

Этап 1.2.3.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$20 x$

Этап 1.2.3.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 x^{2} + 20 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$

Этап 1.2.3.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$

Этап 1.2.3.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$

Этап 1.2.3.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $13 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$

Этап 1.2.3.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$
							+	$13 x$	-	$52$

Этап 1.2.3.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $13 x - 52$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$
							-	$13 x$	+	$52$

Этап 1.2.3.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$
							-	$13 x$	+	$52$
										$0$

Этап 1.2.3.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 5 x + 13 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.3.2.1.6

Запишем $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ в виде набора множителей.

$(x + 1) ((x - 4) (x^{2} - 5 x + 13)) = 0$

Этап 1.2.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 5 x + 13) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} - 5 x + 13 = 0 + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.2.7

Приравняем $x^{2} - 5 x + 13$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x^{2} - 5 x + 13$ к $0$ .

$x^{2} - 5 x + 13 = 0$

Этап 1.2.7.2

Решим $x^{2} - 5 x + 13 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.7.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 5$ и $c = 13$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1} + y = 19 x + 52$

Этап 1.2.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.3.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 52}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.3

Вычтем $52$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.7.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.4.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 52}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.3

Вычтем $52$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.7.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.7.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.5.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 52}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.3

Вычтем $52$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.7.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.7.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 5 x + 13) = 0$ верно.

$x = - 1, 4, \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = 19 (- 1) + 52$

Этап 1.3.2

Упростим $19 (- 1) + 52$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $19$ на $- 1$ .

$y = - 19 + 52$

Этап 1.3.2.2

Добавим $- 19$ и $52$ .

$y = 33$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = 19 (4) + 52$

Этап 1.4.2

Упростим $19 (4) + 52$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $19$ на $4$ .

$y = 76 + 52$

Этап 1.4.2.2

Добавим $76$ и $52$ .

$y = 128$

Этап 1.5

Вычислим $y$ , когда $x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подставим $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ вместо $x$ .

$y = 19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

Этап 1.5.2

Подставим $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ вместо $x$ в $y = 19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Умножим $19$ на $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

Этап 1.5.2.2

Упростим $19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Объединим $19$ и $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 + 3 i \sqrt{3})}{2} + 52$

Этап 1.5.2.2.2

Чтобы записать $52$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 + 3 i \sqrt{3})}{2} + 52 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.5.2.2.3

Объединим $52$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 + 3 i \sqrt{3})}{2} + \frac{52 \cdot 2}{2}$

Этап 1.5.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{199 + 57 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.6

Вычислим $y$ , когда $x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Подставим $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ вместо $x$ .

$y = 19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

Этап 1.6.2

Подставим $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ вместо $x$ в $y = 19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Умножим $19$ на $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

Этап 1.6.2.2

Упростим $19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1

Объединим $19$ и $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 - 3 i \sqrt{3})}{2} + 52$

Этап 1.6.2.2.2

Чтобы записать $52$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 - 3 i \sqrt{3})}{2} + 52 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.6.2.2.3

Объединим $52$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 - 3 i \sqrt{3})}{2} + \frac{52 \cdot 2}{2}$

Этап 1.6.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{199 - 57 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.7

Перечислим все решения.

$y = 33, x = - 1$

$y = 128, x = 4$

$y = \frac{199 + 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{199 - 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 33, x = - 1$

$y = 128, x = 4$

$y = \frac{199 + 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{199 - 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2

Область между данными кривыми не ограничена.

Неограниченная область

Этап 3