Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - 2 x$ , $y = x + 4$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} - 2 x = x + 4$

Этап 1.2

Решим $x^{2} - 2 x = x + 4$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - x = 4$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x = 4$

Этап 1.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Этап 1.2.3

Разложим $x^{2} - 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1 + y = x + 4$

Этап 1.2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 4$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.2.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 4, - 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = (4) + 4$

Этап 1.3.2

Подставим $4$ вместо $x$ в $y = (4) + 4$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4 + 4$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (4) + 4$

Этап 1.3.2.3

Добавим $4$ и $4$ .

$y = 8$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = (- 1) + 4$

Этап 1.4.2

Подставим $- 1$ вместо $x$ в $y = (- 1) + 4$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - 1 + 4$

Этап 1.4.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (- 1) + 4$

Этап 1.4.2.3

Добавим $- 1$ и $4$ .

$y = 3$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{4} x + 4 d x - \int_{- 1}^{4} x^{2} - 2 x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - (x^{2} - 2 x) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 4 - x^{2} - (- 2 x)$

Этап 3.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x + 4 - x^{2} + 2 x$

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - x^{2} + 2 x d x$

Этап 3.3

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\int_{- 1}^{4} 3 x + 4 - x^{2} d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{4} 3 x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Этап 3.5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{- 1}^{4} x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Этап 3.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Этап 3.9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - \int_{- 1}^{4} x^{2} d x$

Этап 3.10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4})$

Этап 3.11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

Этап 3.11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $- 1$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

Этап 3.11.2.2

Найдем значение $4 x$ в $4$ и в $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

Этап 3.11.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$3 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.4

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.5

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.7.1

Умножим $8$ на $2$ .

$3 \frac{16 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.7.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$3 (\frac{15}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.8

Объединим $3$ и $\frac{15}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 15}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.9

Умножим $3$ на $15$ .

$\frac{45}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.10

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{45}{2} + 16 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.11

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{45}{2} + 16 + 4 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.12

Добавим $16$ и $4$ .

$\frac{45}{2} + 20 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.13

Чтобы записать $20$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + 20 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.14

Объединим $20$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + \frac{20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{45 + 20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.16.1

Умножим $20$ на $2$ .

$\frac{45 + 40}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.16.2

Добавим $45$ и $40$ .

$\frac{85}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.17

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.11.2.4.18

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3})$

Этап 3.11.2.4.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{1}{3})$

Этап 3.11.2.4.20

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Этап 3.11.2.4.21

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 3.11.2.4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{85}{2} - \frac{64 + 1}{3}$

Этап 3.11.2.4.23

Добавим $64$ и $1$ .

$\frac{85}{2} - \frac{65}{3}$

Этап 3.11.2.4.24

Чтобы записать $\frac{85}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3}$

Этап 3.11.2.4.25

Чтобы записать $- \frac{65}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.11.2.4.26

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.26.1

Умножим $\frac{85}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{85 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.11.2.4.26.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.11.2.4.26.3

Умножим $\frac{65}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 3.11.2.4.26.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{6}$

Этап 3.11.2.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{85 \cdot 3 - 65 \cdot 2}{6}$

Этап 3.11.2.4.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.4.28.1

Умножим $85$ на $3$ .

$\frac{255 - 65 \cdot 2}{6}$

Этап 3.11.2.4.28.2

Умножим $- 65$ на $2$ .

$\frac{255 - 130}{6}$

Этап 3.11.2.4.28.3

Вычтем $130$ из $255$ .

$\frac{125}{6}$

Этап 4