Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - x - 6$ , $y = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Этап 1.2

Решим $x^{2} - x - 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2 + y = 0$

Этап 1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0 + y = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 1.2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 1.2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$

Этап 1.3

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(3, 0)$

$(- 2, 0)$

$(3, 0)$

$(- 2, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{3} 0 d x - \int_{- 2}^{3} x^{2} - x - 6 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{3} 0 - (x^{2} - x - 6) d x$

Этап 3.2

Вычтем $x^{2} - x - 6$ из $0$ .

$\int_{- 2}^{3} - (x^{2} - x - 6) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 2}^{3} - x^{2} + x + 6 d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 2}^{3} x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Этап 3.8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Этап 3.9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} + 6 x]_{- 2}^{3}$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3}$ и $6 x]_{- 2}^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 2}^{3}$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 2$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 2}^{3}$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ в $3$ и в $- 2$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- (9 - \frac{- 8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (9 - - \frac{8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (9 + 1 (\frac{8}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.6

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$- (9 + \frac{8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.7

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.8

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{9 \cdot 3 + 8}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.10.1

Умножим $9$ на $3$ .

$- \frac{27 + 8}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.10.2

Добавим $27$ и $8$ .

$- \frac{35}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{1}{2} \cdot 9 + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9}{2} + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.13

Умножим $6$ на $3$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9}{2} + 18 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.14

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9}{2} + 18 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.15

Объединим $18$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{35}{3} + \frac{9 + 18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.17.1

Умножим $18$ на $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9 + 36}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.17.2

Добавим $9$ и $36$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.18

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.19

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{4}{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.20

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.20.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.20.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.20.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{2}{1} + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.20.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (2 + 6 \cdot - 2)$

Этап 3.10.2.3.21

Умножим $6$ на $- 2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (2 - 12)$

Этап 3.10.2.3.22

Вычтем $12$ из $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - - 10$

Этап 3.10.2.3.23

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} + 10$

Этап 3.10.2.3.24

Чтобы записать $10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} + 10 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.10.2.3.25

Объединим $10$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} + \frac{10 \cdot 2}{2}$

Этап 3.10.2.3.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{35}{3} + \frac{45 + 10 \cdot 2}{2}$

Этап 3.10.2.3.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.27.1

Умножим $10$ на $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45 + 20}{2}$

Этап 3.10.2.3.27.2

Добавим $45$ и $20$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{65}{2}$

Этап 3.10.2.3.28

Чтобы записать $- \frac{35}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{65}{2}$

Этап 3.10.2.3.29

Чтобы записать $\frac{65}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.10.2.3.30

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.30.1

Умножим $\frac{35}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.10.2.3.30.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.10.2.3.30.3

Умножим $\frac{65}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{65 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 3.10.2.3.30.4

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{65 \cdot 3}{6}$

Этап 3.10.2.3.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 35 \cdot 2 + 65 \cdot 3}{6}$

Этап 3.10.2.3.32

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.32.1

Умножим $- 35$ на $2$ .

$\frac{- 70 + 65 \cdot 3}{6}$

Этап 3.10.2.3.32.2

Умножим $65$ на $3$ .

$\frac{- 70 + 195}{6}$

Этап 3.10.2.3.32.3

Добавим $- 70$ и $195$ .

$\frac{125}{6}$

Этап 4