Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{3 - 7 x}$ , $x = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sqrt{3 - 7 x} = 0$

Этап 1.2

Решим $\sqrt{3 - 7 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 - 7 x}}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 - 7 x}$ в виде ${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Упростим ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 - 7 x)}^{1} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Упростим.

$3 - 7 x = 0^{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 - 7 x = 0$

Этап 1.2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 7 x = - 3$

Этап 1.2.3.2

Разделим каждый член $- 7 x = - 3$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Разделим каждый член $- 7 x = - 3$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Этап 1.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Этап 1.2.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 7}$

Этап 1.2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{3}{7}$

Этап 1.3

Подставим $\frac{3}{7}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\frac{3}{7}, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x - \int_{0}^{\frac{3}{7}} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $\frac{3}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $\sqrt{3 - 7 x}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x$

Этап 3.3

Пусть $u = 3 - 7 x$ . Тогда $d u = - 7 d x$ , следовательно $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Пусть $u = 3 - 7 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Дифференцируем $3 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 7 x]$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

По правилу суммы производная $3 - 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 3.3.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 3.3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Этап 3.3.1.3.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$0 - 7$

Этап 3.3.1.4

Вычтем $7$ из $0$ .

$- 7$

Этап 3.3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 - 7 x$ .

$u_{lower} = 3 - 7 \cdot 0$

Этап 3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $- 7$ на $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Этап 3.3.3.2

Добавим $3$ и $0$ .

$u_{lower} = 3$

Этап 3.3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 - 7 x$ .

$u_{upper} = 3 - 7 (\frac{3}{7})$

Этап 3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.1.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$u_{upper} = 3 + 7 (- 1) \frac{3}{7}$

Этап 3.3.5.1.1.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 3 + 7 \cdot - 1 \frac{3}{7}$

Этап 3.3.5.1.1.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

Этап 3.3.5.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Этап 3.3.5.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 3.3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

Этап 3.3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 7} d u$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Этап 3.4.2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{7}$ .

$\int_{3}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{3}^{0} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Этап 3.6

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{7} \int_{3}^{0} \sqrt{u} d u)$

Этап 3.7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \int_{3}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.8

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{0}$

Этап 3.9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $0$ и в $3$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Этап 3.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Этап 3.9.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Этап 3.9.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Этап 3.9.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Этап 3.9.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Этап 3.9.2.5

Умножим $\frac{2}{3}$ на $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Этап 3.9.2.6

Объединим $3^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{3^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Этап 3.9.2.7

Перенесем $2$ влево от $3^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.9.2.8

Перенесем $3^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

Этап 3.9.2.9

Умножим $3^{\frac{3}{2}}$ на $3^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.9.1

Перенесем $3^{- 1}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

Этап 3.9.2.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

Этап 3.9.2.9.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Этап 3.9.2.9.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Этап 3.9.2.9.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

Этап 3.9.2.9.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.9.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

Этап 3.9.2.9.6.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3.9.2.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Этап 3.9.2.11

Вычтем $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ из $0$ .

$- \frac{1}{7} (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Этап 3.9.2.12

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 (\frac{1}{7}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9.2.13

Объединим $2$ и $\frac{1}{7}$ .

$\frac{2}{7} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9.2.14

Объединим $\frac{2}{7}$ и $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{7}$

Этап 4