Математический анализ Примеры

$x - 2 y = - 5$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$x = - 5 + 2 y$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Этап 1.2

Заменим все вхождения $x$ на $- 5 + 2 y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} = 25$ на $- 5 + 2 y$ .

${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим ${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Перепишем ${(- 5 + 2 y)}^{2}$ в виде $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ .

$(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.2.2.1.1.2

Развернем $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 (- 5 + 2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.2.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.2.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.2.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.3.1.1

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$25 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.2.2.1.1.3.1.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$25 - 10 y + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.2.2.1.1.3.1.3

Умножим $- 5$ на $2$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.2.2.1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.2.2.1.1.3.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.3.1.5.1

Перенесем $y$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.2.2.1.1.3.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.2.2.1.1.3.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.2.2.1.1.3.2

Вычтем $10 y$ из $- 10 y$ .

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.2.2.1.2

Добавим $4 y^{2}$ и $y^{2}$ .

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3

Решим относительно $y$ в $25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$25 - 20 y + 5 y^{2} - 25 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.2

Объединим противоположные члены в $25 - 20 y + 5 y^{2} - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вычтем $25$ из $25$ .

$- 20 y + 5 y^{2} + 0 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.2.2

Добавим $- 20 y + 5 y^{2}$ и $0$ .

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $- 5 y$ из $- 20 y + 5 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Изменим порядок $- 20 y$ и $5 y^{2}$ .

$5 y^{2} - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.3.2

Вынесем множитель $- 5 y$ из $5 y^{2}$ .

$- 5 y (- y) - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.3.3

Вынесем множитель $- 5 y$ из $- 20 y$ .

$- 5 y (- y) - 5 y \cdot 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.3.4

Вынесем множитель $- 5 y$ из $- 5 y (- y) - 5 y (4)$ .

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.5

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.6

Приравняем $- y + 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Приравняем $- y + 4$ к $0$ .

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.6.2

Решим $- y + 4 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- y = - 4$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.6.2.2

Разделим каждый член $- y = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.2.1

Разделим каждый член $- y = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.6.2.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 5 y (- y + 4) = 0$ верно.

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $y$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - 5 + 2 y$ на $0$ .

$x = - 5 + 2 (0)$

$y = 0$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим $- 5 + 2 (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$x = - 5 + 0$

$y = 0$

Этап 1.4.2.1.2

Добавим $- 5$ и $0$ .

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

Этап 1.5

Заменим все вхождения $y$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - 5 + 2 y$ на $4$ .

$x = - 5 + 2 (4)$

$y = 4$

Этап 1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Упростим $- 5 + 2 (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$x = - 5 + 8$

$y = 4$

Этап 1.5.2.1.2

Добавим $- 5$ и $8$ .

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

Этап 1.6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

Этап 2

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3

Решим $x^{2} + y^{2} = 25$ , выразив через $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = 25 - y^{2}$

Этап 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25 - y^{2}}$

Этап 3.3

Упростим $\pm \sqrt{25 - y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} - y^{2}}$

Этап 3.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Этап 4

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y - \int_{0}^{4} - 5 + 2 y d y$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} - (- 5 + 2 y) d y$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} - - 5 - (2 y)$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - (2 y)$

Этап 5.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y$

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y d y$

Этап 5.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.4

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Развернем $(5 + y) (5 - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (5 - y) + y (5 - y)$

Этап 5.4.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y (5 - y)$

Этап 5.4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

Этап 5.4.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$25 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

Этап 5.4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$25 - 5 y + y \cdot 5 + y (- y)$

Этап 5.4.1.2.1.3

Перенесем $5$ влево от $y$ .

$25 - 5 y + 5 \cdot y + y (- y)$

Этап 5.4.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$25 - 5 y + 5 y - y \cdot y$

Этап 5.4.1.2.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1.5.1

Перенесем $y$ .

$25 - 5 y + 5 y - (y \cdot y)$

Этап 5.4.1.2.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$25 - 5 y + 5 y - y^{2}$

Этап 5.4.1.2.2

Добавим $- 5 y$ и $5 y$ .

$25 + 0 - y^{2}$

Этап 5.4.1.2.3

Добавим $25$ и $0$ .

$25 - y^{2}$

Этап 5.4.1.3

Изменим порядок $25$ и $- y^{2}$ .

$- y^{2} + 25$

Этап 5.4.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 25$

Этап 5.4.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.4.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.4.4.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Этап 5.4.4.2.2

Перепишем $- 1 \cdot 0$ в виде $- 0$ .

$d = - 0$

Этап 5.4.4.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$d = 0$

Этап 5.4.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 25 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.4.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 25 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.4.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 25 - \frac{0}{- 4}$

Этап 5.4.5.2.1.3

Разделим $0$ на $- 4$ .

$e = 25 - 0$

Этап 5.4.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 25 + 0$

Этап 5.4.5.2.2

Добавим $25$ и $0$ .

$e = 25$

Этап 5.4.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(y + 0)}^{2} + 25$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {(y + 0)}^{2} + 25} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.5

Пусть $u_{1} = y + 0$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Пусть $u_{1} = y + 0$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Дифференцируем $y + 0$ .

$\frac{d}{d y} [y + 0]$

Этап 5.5.1.2

По правилу суммы производная $y + 0$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$

Этап 5.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [0]$

Этап 5.5.1.4

Поскольку $0$ является константой относительно $y$ , производная $0$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u_{1} = y + 0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Этап 5.5.3

Добавим $0$ и $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 5.5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u_{1} = y + 0$ .

$u_{upper} = 4 + 0$

Этап 5.5.5

Добавим $4$ и $0$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 5.5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Этап 5.5.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 25} d u_{1} + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.6

Пусть $u_{1} = 5 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d u_{1} = 5 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $5 \cos (t)$ положительно.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим $\sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1.1

Применим правило умножения к $5 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (5^{2} \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (25 \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.1.1.3

Умножим $25$ на $- 1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- 25 \sin^{2} (t) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.1.2

Изменим порядок $- 25 \sin^{2} (t)$ и $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.1.3

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.1.4

Вынесем множитель $25$ из $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.1.5

Вынесем множитель $25$ из $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.1.6

Применим формулу Пифагора.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.1.7

Перепишем $25 \cos^{2} (t)$ в виде ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.2.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.7.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.8

Поскольку $25$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $25$ из-под знака интеграла.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.9

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.14

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Тогда $d u_{2} = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 5.14.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.14.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.14.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5.14.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 5.14.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 5.14.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

Этап 5.14.5

Умножим $2$ на $0.92729521$ .

$u_{upper} = 1.85459043$

Этап 5.14.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

Этап 5.14.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.15

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.16

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.17

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.18

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Этап 5.19

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 \int_{0}^{4} y d y$

Этап 5.20

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.21

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.22

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.22.1

Найдем значение $t$ в $0.92729521$ и в $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.22.2

Найдем значение $\sin (u_{2})$ в $1.85459043$ и в $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.22.3

Найдем значение $5 y$ в $4$ и в $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.22.4

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.22.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.22.5.1

Добавим $0.92729521$ и $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.22.5.2

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.22.5.3

Умножим $- 5$ на $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 + 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.22.5.4

Добавим $20$ и $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.22.5.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.22.5.6

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.22.5.6.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.22.5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.22.5.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.22.5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.22.5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.22.5.6.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.22.5.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{2})$

Этап 5.22.5.8

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.22.5.8.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 5.22.5.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.22.5.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.22.5.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.22.5.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{1})$

Этап 5.22.5.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - 0)$

Этап 5.22.5.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 + 0)$

Этап 5.22.5.10

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 \cdot 8$

Этап 5.22.5.11

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 16$

Этап 5.22.5.12

Вычтем $16$ из $20$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 4$

Этап 5.23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.23.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0)) + 4$

Этап 5.23.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0)) + 4$

Этап 5.23.3

Добавим $\sin (1.85459043)$ и $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043)) + 4$

Этап 5.23.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (1.85459043)$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2}) + 4$

Этап 5.23.5

Добавим $0.92729521$ и $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521 + 4$

Этап 5.23.6

Объединим $\frac{25}{2}$ и $1.40729521$ .

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2} + 4$

Этап 5.23.7

Умножим $25$ на $1.40729521$ .

$\frac{35.18238045}{2} + 4$

Этап 5.23.8

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35.18238045}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.23.9

Объединим $4$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35.18238045}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Этап 5.23.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{35.18238045 + 4 \cdot 2}{2}$

Этап 5.23.11

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{35.18238045 + 8}{2}$

Этап 5.23.12

Добавим $35.18238045$ и $8$ .

$\frac{43.18238045}{2}$

Этап 5.24

Разделим $43.18238045$ на $2$ .

$21.59119022$

Этап 6