Математический анализ Примеры

$y = e^{0.4 x}$ , $y = 5 + x^{2}$ , $x = 2$ , $x = 3$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$e^{0.4 x} = 5 + x^{2}$

Этап 1.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx 12.83601099 + y = 5 + x^{2}$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 12.83601099$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $12.83601099$ вместо $x$ .

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Этап 1.3.2

Подставим $12.83601099$ вместо $x$ в $y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 5 + {12.83601099}^{2}$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Этап 1.3.2.3

Упростим $5 + {(12.83601099)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Возведем $12.83601099$ в степень $2$ .

$y = 5 + 164.76317813$

Этап 1.3.2.3.2

Добавим $5$ и $164.76317813$ .

$y = 169.76317813$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(12.83601099, 169.76317813)$

Этап 2

Изменим порядок $5$ и $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 5$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{2}^{3} x^{2} + 5 d x - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $2$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - (e^{0.4 x}) d x$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $e^{0.4 x}$ .

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - e^{0.4 x} d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Этап 4.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Этап 4.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Этап 4.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Этап 4.7

Пусть $u = 0.4 x$ . Тогда $d u = 0.4 d x$ , следовательно $\frac{1}{0.4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Пусть $u = 0.4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Дифференцируем $0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.4 x]$

Этап 4.7.1.2

Поскольку $0.4$ является константой относительно $x$ , производная $0.4 x$ по $x$ равна $0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0.4 \cdot 1$

Этап 4.7.1.4

Умножим $0.4$ на $1$ .

$0.4$

Этап 4.7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 0.4 x$ .

$u_{lower} = 0.4 \cdot 2$

Этап 4.7.3

Умножим $0.4$ на $2$ .

$u_{lower} = 0.8$

Этап 4.7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 0.4 x$ .

$u_{upper} = 0.4 \cdot 3$

Этап 4.7.5

Умножим $0.4$ на $3$ .

$u_{upper} = 1.2$

Этап 4.7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0.8$

$u_{upper} = 1.2$

Этап 4.7.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} e^{u} \frac{1}{0.4} d u$

Этап 4.8

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Этап 4.9

Поскольку $\frac{1}{0.4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{0.4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - (\frac{1}{0.4} \int_{0.8}^{1.2} e^{u} d u)$

Этап 4.10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Этап 4.11

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}$ и $5 x]_{2}^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Этап 4.12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ в $3$ и в $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Этап 4.12.2

Найдем значение $e^{u}$ в $1.2$ и в $0.8$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.3

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.3.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.4

Умножим $5$ на $3$ .

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.5

Добавим $9$ и $15$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.8

Умножим $5$ на $2$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.9

Чтобы записать $10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.10

Объединим $10$ и $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$24 - \frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.3.12.1

Умножим $10$ на $3$ .

$24 - \frac{8 + 30}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.12.2

Добавим $8$ и $30$ .

$24 - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.13

Чтобы записать $24$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.14

Объединим $24$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{24 \cdot 3 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.3.16.1

Умножим $24$ на $3$ .

$\frac{72 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.16.2

Вычтем $38$ из $72$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Этап 4.12.3.17

Чтобы записать $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.12.3.18

Объединим $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} + \frac{- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Этап 4.12.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{34 - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Этап 4.12.3.20

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{34 - 3 (\frac{1}{0.4}) (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Этап 4.12.3.21

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{34 + \frac{- 3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Этап 4.12.3.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{34 - \frac{3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Этап 4.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1.1

Разделим $3$ на $0.4$ .

$\frac{34 - 1 \cdot 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Этап 4.13.1.2

Умножим $- 1$ на $7.5$ .

$\frac{34 - 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Этап 4.13.1.3

Умножим $- 7.5$ на $e^{1.2} - e^{0.8}$ .

$\frac{34 - 8.20931995}{3}$

Этап 4.13.1.4

Вычтем $8.20931995$ из $34$ .

$\frac{25.79068004}{3}$

Этап 4.13.2

Разделим $25.79068004$ на $3$ .

$8.59689334$

Этап 5