Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ , $y = \sqrt[3]{x}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} = \sqrt[3]{x}$

Этап 1.2

Решим $x^{2} = \sqrt[3]{x}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt[3]{x} = x^{2}$

Этап 1.2.2

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt[3]{x} - x^{2} = 0$

Этап 1.2.3

Разложим $\sqrt[3]{x} - x^{2}$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} - x^{2} = 0$

Этап 1.2.3.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{3}}$ из $x^{\frac{1}{3}} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим на $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x^{2} = 0$

Этап 1.2.3.2.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{3}}$ из $- x^{2}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{5}{3}}) = 0$

Этап 1.2.3.2.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{3}}$ из $x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{5}{3}})$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 - x^{\frac{5}{3}}) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0$

$1 - x^{\frac{5}{3}} = 0 + y = \sqrt[3]{x}$

Этап 1.2.5

Приравняем $x^{\frac{1}{3}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x^{\frac{1}{3}}$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $x^{\frac{1}{3}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.2.5.2.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.2.5.2.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.2.5.2.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{3}$

Этап 1.2.5.2.2.1.1.2

Упростим.

$x = 0^{3}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.6

Приравняем $1 - x^{\frac{5}{3}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $1 - x^{\frac{5}{3}}$ к $0$ .

$1 - x^{\frac{5}{3}} = 0$

Этап 1.2.6.2

Решим $1 - x^{\frac{5}{3}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x^{\frac{5}{3}} = - 1$

Этап 1.2.6.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{5}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(- x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.1

Упростим ${(- x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.1.1.1

Применим правило умножения к $- x^{\frac{5}{3}}$ .

${(- 1)}^{\frac{3}{5}} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3.1.1.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{5}$ .

${({(- 1)}^{5})}^{\frac{3}{5}} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3.1.1.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- 1)}^{3} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- x^{1} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3.1.1.4

Упростим.

$- x = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.2.1

Упростим ${(- 1)}^{\frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.2.1.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{5}$ .

$- x = {({(- 1)}^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Этап 1.2.6.2.3.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x = {(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})}$

Этап 1.2.6.2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- x = {(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})}$

Этап 1.2.6.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- x = {(- 1)}^{3}$

Этап 1.2.6.2.3.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- x = - 1$

Этап 1.2.6.2.4

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.4.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.6.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.6.2.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.6.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.4.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{\frac{1}{3}} (1 - x^{\frac{5}{3}}) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = \sqrt[3]{0}$

Этап 1.3.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \sqrt[3]{0}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 1.3.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = \sqrt[3]{1}$

Этап 1.4.2

Упростим $\sqrt[3]{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \sqrt[3]{1}$

Этап 1.4.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = 1$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} - (x^{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} - x^{2} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Этап 3.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Этап 3.7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Этап 3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 3.8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Найдем значение $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 3.8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.3

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.7

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{3}{4} + 0 (\frac{3}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.8

Умножим $0$ на $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.9

Добавим $\frac{3}{4}$ и $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 3.8.2.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 3.8.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.8.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.8.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 3.8.2.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - 0)$

Этап 3.8.2.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} + 0)$

Этап 3.8.2.3.14

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{3}$

Этап 3.8.2.3.15

Чтобы записать $\frac{3}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 3.8.2.3.16

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.8.2.3.17

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.17.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.8.2.3.17.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.8.2.3.17.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{4}{3 \cdot 4}$

Этап 3.8.2.3.17.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{4}{12}$

Этап 3.8.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \cdot 3 - 4}{12}$

Этап 3.8.2.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.19.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 - 4}{12}$

Этап 3.8.2.3.19.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$\frac{5}{12}$

Этап 4