Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ , $y = x$ , $x = - 1$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} = x$

Этап 1.2

Решим $x^{2} = x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0 + y = x$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.3.2

Избавимся от скобок.

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = 1$

Этап 1.4.2

Избавимся от скобок.

$y = 1$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} x^{2} d x - \int_{- 1}^{0} x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{0} x^{2} - (x) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x$ .

$\int_{- 1}^{0} x^{2} - x d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} x d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 3.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $0$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 3.7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$0 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$0 - \frac{1}{3} \cdot - 1 - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$0 + \frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6

Добавим $0$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{3} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{3} - (0 - \frac{1}{2})$

Этап 3.7.2.3.10

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$\frac{1}{3} - - \frac{1}{2}$

Этап 3.7.2.3.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 3.7.2.3.12

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Этап 3.7.2.3.13

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.7.2.3.14

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.7.2.3.15

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.15.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.7.2.3.15.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.7.2.3.15.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.2.3.15.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Этап 3.7.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + 3}{6}$

Этап 3.7.2.3.17

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{5}{6}$

Этап 4

$A r e a = \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} x - (x^{2}) d x$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

Этап 5.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Этап 5.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Этап 5.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Этап 5.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Этап 5.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 5.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 5.7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 5.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 5.7.2.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 5.7.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 5.7.2.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 5.7.2.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 5.7.2.3.6

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 5.7.2.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 5.7.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 5.7.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 5.7.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 5.7.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 5.7.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 5.7.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0)$

Этап 5.7.2.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0)$

Этап 5.7.2.3.11

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

Этап 5.7.2.3.12

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 5.7.2.3.13

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.7.2.3.14

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.14.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.7.2.3.14.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.7.2.3.14.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}$

Этап 5.7.2.3.14.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6}$

Этап 5.7.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 2}{6}$

Этап 5.7.2.3.16

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 6

Сложим площади $\frac{5}{6} + \frac{1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 + 1}{6}$

Этап 6.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{6}{6}$

Этап 6.2.2

Разделим $6$ на $6$ .

$1$

Этап 7