Математический анализ Примеры

$y = x^{\frac{4}{3}}$ , $y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.2

Решим $x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Исключим дробные показатели степени, умножив и тот, и другой на НОЗ.

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 1.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{4} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 1.2.3

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{4} = 2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 1.2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x^{4} = 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 1.2.3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 1.2.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 1.2.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{4} = 8 x^{1}$

Этап 1.2.3.4

Упростим.

$x^{4} = 8 x$

Этап 1.2.4

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 8 x = 0$

Этап 1.2.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 8 x = 0$

Этап 1.2.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x$ .

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 8 = 0$

Этап 1.2.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x \cdot - 8$ .

$x (x^{3} - 8) = 0$

Этап 1.2.5.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Этап 1.2.5.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 1.2.5.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.1.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Этап 1.2.5.4.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Этап 1.2.5.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Этап 1.2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.2.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.8

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.9

Приравняем $x^{2} + 2 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Приравняем $x^{2} + 2 x + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Этап 1.2.9.2

Решим $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.2.9.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.2.9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.9.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 1.2.9.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.4.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.4.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.9.2.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 1.2.9.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Этап 1.2.9.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.9.2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 1.2.9.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 1.2.9.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 1.2.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.3.2

Подставим $0$ вместо $x$ в $y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$y = 2 \cdot {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.3.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Этап 1.3.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 \cdot 0^{1}$

Этап 1.3.2.2.3

Найдем экспоненту.

$y = 2 \cdot 0$

Этап 1.3.2.2.4

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.4.2

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.4.2.2

Умножим $2$ на $2^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$y = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = 2^{1 + \frac{1}{3}}$

Этап 1.4.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = 2^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Этап 1.4.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 2^{\frac{3 + 1}{3}}$

Этап 1.4.2.2.4

Добавим $3$ и $1$ .

$y = 2^{\frac{4}{3}}$

Этап 1.5

Подставим $- 1 + i \sqrt{3}$ вместо $x$ .

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.6

Подставим $- 1 - i \sqrt{3}$ вместо $x$ .

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.7

Перечислим все решения.

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 2

Область между данными кривыми не ограничена.

Неограниченная область

Этап 3