Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ , $x = 2$ , $y = 0$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = x^{2}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{2 \cdot 2}$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$V = x^{4}$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$V = π \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $2$ и в $0$ .

$V = π ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$V = π (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 4.2.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{32}{5} - \frac{0}{5})$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$V = π (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Этап 4.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$V = π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{32}{5} - \frac{0}{1})$

Этап 4.2.2.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{32}{5} - 0)$

Этап 4.2.2.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{32}{5} + 0)$

Этап 4.2.2.5

Добавим $\frac{32}{5}$ и $0$ .

$V = π (\frac{32}{5})$

Этап 4.2.2.6

Объединим $π$ и $\frac{32}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 32}{5}$

Этап 4.2.2.7

Перенесем $32$ влево от $π$ .

$V = \frac{32 π}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{32 π}{5}$

Десятичная форма:

$V = 20.10619298 \dots$

Этап 6