Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{x}$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $y = 0$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = \frac{1}{x}$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{x}$ .

$V = \frac{1^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.2

Единица в любой степени равна единице.

$V = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$V = π \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = π \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$V = π \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$V = π - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $2$ и в $1$ .

$V = π ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = π (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Этап 5.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (- \frac{1}{2} + 1)$

Этап 5.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$V = π (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{- 1 + 2}{2})$

Этап 5.2.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$V = π (\frac{1}{2})$

Этап 5.2.6

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$V = \frac{π}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{π}{2}$

Десятичная форма:

$V = 1.57079632 \dots$

Этап 7