Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 2$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = 2 x^{2}$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $2 x^{2}$ .

$V = 2^{2} {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$V = 4 {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 x^{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$V = 4 x^{4}$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$V = π (4 \int_{0}^{2} x^{4} d x)$

Этап 4

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$V = 4 π \int_{0}^{2} x^{4} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = 4 π \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$V = 4 π \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $2$ и в $0$ .

$V = 4 π ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Этап 6.2.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{5})$

Этап 6.2.2.3

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Этап 6.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 6.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 6.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{1})$

Этап 6.2.2.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - 0)$

Этап 6.2.2.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} + 0)$

Этап 6.2.2.5

Добавим $\frac{32}{5}$ и $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5})$

Этап 6.2.2.6

Объединим $\frac{32}{5}$ и $4$ .

$V = \frac{32 \cdot 4}{5} \cdot π$

Этап 6.2.2.7

Умножим $32$ на $4$ .

$V = \frac{128}{5} \cdot π$

Этап 6.2.2.8

Объединим $\frac{128}{5}$ и $π$ .

$V = \frac{128 π}{5}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{128 π}{5}$

Десятичная форма:

$V = 80.42477193 \dots$

Этап 8