Математический анализ Примеры

$y = 0$ , $x = 2$ , $y = \sqrt{x}$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = \sqrt{x}$

Этап 2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$V = x^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$V = x^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$V = x$

Этап 2.5

Упростим.

$V = x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$V = π \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$V = π ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$V = π (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$V = π (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (2 - \frac{0}{2})$

Этап 4.2.2.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$V = π (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 4.2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (2 - \frac{0}{1})$

Этап 4.2.2.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (2 - 0)$

Этап 4.2.2.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (2 + 0)$

Этап 4.2.2.6

Добавим $2$ и $0$ .

$V = π \cdot 2$

Этап 4.2.2.7

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$V = 2 π$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = 2 π$

Десятичная форма:

$V = 6.28318530 \dots$

Этап 6