Математический анализ Примеры

$y = x$ , $y = 0$ , $x = 2$ , $x = 4$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{2}^{4} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = x$

Этап 2

Избавимся от скобок.

$V = x^{2}$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π \frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π \frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $2$ .

$V = π ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$V = π (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 4.2.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$V = π (\frac{64}{3} - \frac{8}{3})$

Этап 4.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{64 - 8}{3})$

Этап 4.2.2.4

Вычтем $8$ из $64$ .

$V = π (\frac{56}{3})$

Этап 4.2.2.5

Объединим $π$ и $\frac{56}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 56}{3}$

Этап 4.2.2.6

Перенесем $56$ влево от $π$ .

$V = \frac{56 π}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{56 π}{3}$

Десятичная форма:

$V = 58.64306286 \dots$

Этап 6