Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ , $y = 4 x$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = 4 x$ и $g (x) = x^{2}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $4 x$ .

$V = 4^{2} x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$V = 16 x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$V = 16 x^{2} - x^{4}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{4} 16 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Этап 4

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$V = π (16 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{4} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{4}))$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $0$ .

$V = π (16 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $4$ и в $0$ .

$V = π (16 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} + 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.5

Добавим $\frac{64}{3}$ и $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.6

Объединим $16$ и $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{16 \cdot 64}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.7

Умножим $16$ на $64$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.8

Возведем $4$ в степень $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}))$

Этап 9.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.10.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Этап 9.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Этап 9.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Этап 9.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}))$

Этап 9.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - 0))$

Этап 9.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} + 0))$

Этап 9.2.3.12

Добавим $\frac{1024}{5}$ и $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - \frac{1024}{5})$

Этап 9.2.3.13

Чтобы записать $\frac{1024}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5})$

Этап 9.2.3.14

Чтобы записать $- \frac{1024}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 9.2.3.15

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.15.1

Умножим $\frac{1024}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 9.2.3.15.2

Умножим $3$ на $5$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 9.2.3.15.3

Умножим $\frac{1024}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Этап 9.2.3.15.4

Умножим $5$ на $3$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{15})$

Этап 9.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{1024 \cdot 5 - 1024 \cdot 3}{15})$

Этап 9.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.17.1

Умножим $1024$ на $5$ .

$V = π (\frac{5120 - 1024 \cdot 3}{15})$

Этап 9.2.3.17.2

Умножим $- 1024$ на $3$ .

$V = π (\frac{5120 - 3072}{15})$

Этап 9.2.3.17.3

Вычтем $3072$ из $5120$ .

$V = π (\frac{2048}{15})$

Этап 9.2.3.18

Объединим $π$ и $\frac{2048}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2048}{15}$

Этап 9.2.3.19

Перенесем $2048$ влево от $π$ .

$V = \frac{2048 π}{15}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{2048 π}{15}$

Десятичная форма:

$V = 428.93211697 \dots$

Этап 11