Математический анализ Примеры

$y = \frac{3}{x}$ , $x = 7$ , $x = 14$ , $y = 0$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{7}^{14} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = \frac{3}{x}$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$V = \frac{9}{x^{2}}$

Этап 3

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$V = π (9 \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $9$ влево от $π$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$V = 9 π \int_{7}^{14} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{- 2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$V = 9 π - x^{- 1}]_{7}^{14}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $14$ и в $7$ .

$V = 9 π ((- 14^{- 1}) + 7^{- 1})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + 7^{- 1})$

Этап 6.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7})$

Этап 6.2.3

Чтобы записать $\frac{1}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 6.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $14$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{7 \cdot 2})$

Этап 6.2.4.2

Умножим $7$ на $2$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{14})$

Этап 6.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 2}{14})$

Этап 6.2.6

Добавим $- 1$ и $2$ .

$V = 9 π (\frac{1}{14})$

Этап 6.2.7

Объединим $\frac{1}{14}$ и $9$ .

$V = \frac{9}{14} \cdot π$

Этап 6.2.8

Объединим $\frac{9}{14}$ и $π$ .

$V = \frac{9 π}{14}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{9 π}{14}$

Десятичная форма:

$V = 2.01959527 \dots$

Этап 8