Математический анализ Примеры

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (y)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ , где $f (y) = 2 y$ и $g (y) = \frac{y^{2}}{2}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $2 y$ .

$V = 2^{2} y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Этап 2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$V = 4 y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Этап 2.3

Применим правило умножения к $\frac{y^{2}}{2}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{{(y^{2})}^{2}}{2^{2}}$

Этап 2.4

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{2 \cdot 2}}{2^{2}}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{2^{2}}$

Этап 2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{4}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{4} 4 y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$V = π (4 \int_{0}^{4} y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{4}}{4} d y)$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{4} y^{4} d y))$

Этап 9

По правилу степени интеграл $y^{4}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{4})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4})$

Этап 10.1.2

Объединим $\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $4$ и в $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Этап 10.2.2

Найдем значение $\frac{y^{5}}{5}$ в $4$ и в $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Этап 10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} + 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.5

Добавим $\frac{64}{3}$ и $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.6

Объединим $4$ и $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 64}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.7

Умножим $4$ на $64$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.8

Возведем $4$ в степень $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.10.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Этап 10.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Этап 10.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}}{4})$

Этап 10.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - 0}{4})$

Этап 10.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} + 0}{4})$

Этап 10.2.3.12

Добавим $\frac{1024}{5}$ и $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5}}{4})$

Этап 10.2.3.13

Перепишем $\frac{\frac{1024}{5}}{4}$ в виде произведения.

$V = π (\frac{256}{3} - (\frac{1024}{5} \cdot \frac{1}{4}))$

Этап 10.2.3.14

Умножим $\frac{1024}{5}$ на $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{5 \cdot 4})$

Этап 10.2.3.15

Умножим $5$ на $4$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{20})$

Этап 10.2.3.16

Сократим общий множитель $1024$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.16.1

Вынесем множитель $4$ из $1024$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 (256)}{20})$

Этап 10.2.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.16.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Этап 10.2.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Этап 10.2.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{256}{5})$

Этап 10.2.3.17

Чтобы записать $\frac{256}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5})$

Этап 10.2.3.18

Чтобы записать $- \frac{256}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 10.2.3.19

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.19.1

Умножим $\frac{256}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 10.2.3.19.2

Умножим $3$ на $5$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 10.2.3.19.3

Умножим $\frac{256}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Этап 10.2.3.19.4

Умножим $5$ на $3$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{15})$

Этап 10.2.3.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{256 \cdot 5 - 256 \cdot 3}{15})$

Этап 10.2.3.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.21.1

Умножим $256$ на $5$ .

$V = π (\frac{1280 - 256 \cdot 3}{15})$

Этап 10.2.3.21.2

Умножим $- 256$ на $3$ .

$V = π (\frac{1280 - 768}{15})$

Этап 10.2.3.21.3

Вычтем $768$ из $1280$ .

$V = π (\frac{512}{15})$

Этап 10.2.3.22

Объединим $π$ и $\frac{512}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

Этап 10.2.3.23

Перенесем $512$ влево от $π$ .

$V = \frac{512 π}{15}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{512 π}{15}$

Десятичная форма:

$V = 107.23302924 \dots$

Этап 12