Математический анализ Примеры

$x = y^{\frac{1}{3}}$ , $x = 0$ , $y = 64$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = 64$ и $g (x) = x^{3}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $64$ в степень $2$ .

$V = 4096 - {(x^{3})}^{2}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4096 - x^{3 \cdot 2}$

Этап 2.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$V = 4096 - x^{6}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{4} 4096 d x + \int_{0}^{4} - x^{6} d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (4096 x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - x^{6} d x)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} x^{6} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{4}))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{7}$ и $x^{7}$ .

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - (\frac{x^{7}}{7}]_{0}^{4}))$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $4096 x$ в $4$ и в $0$ .

$V = π ((4096 \cdot 4) - 4096 \cdot 0 - (\frac{x^{7}}{7}]_{0}^{4}))$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{7}}{7}$ в $4$ и в $0$ .

$V = π (4096 \cdot 4 - 4096 \cdot 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $4096$ на $4$ .

$V = π (16384 - 4096 \cdot 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 7.2.3.2

Умножим $- 4096$ на $0$ .

$V = π (16384 + 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 7.2.3.3

Добавим $16384$ и $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 7.2.3.4

Возведем $4$ в степень $7$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Этап 7.2.3.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0}{7}))$

Этап 7.2.3.6

Сократим общий множитель $0$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.6.1

Вынесем множитель $7$ из $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 (0)}{7}))$

Этап 7.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Этап 7.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Этап 7.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0}{1}))$

Этап 7.2.3.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - 0))$

Этап 7.2.3.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} + 0))$

Этап 7.2.3.8

Добавим $\frac{16384}{7}$ и $0$ .

$V = π (16384 - \frac{16384}{7})$

Этап 7.2.3.9

Чтобы записать $16384$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$V = π (16384 \cdot \frac{7}{7} - \frac{16384}{7})$

Этап 7.2.3.10

Объединим $16384$ и $\frac{7}{7}$ .

$V = π (\frac{16384 \cdot 7}{7} - \frac{16384}{7})$

Этап 7.2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{16384 \cdot 7 - 16384}{7})$

Этап 7.2.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.12.1

Умножим $16384$ на $7$ .

$V = π (\frac{114688 - 16384}{7})$

Этап 7.2.3.12.2

Вычтем $16384$ из $114688$ .

$V = π (\frac{98304}{7})$

Этап 7.2.3.13

Объединим $π$ и $\frac{98304}{7}$ .

$V = \frac{π \cdot 98304}{7}$

Этап 7.2.3.14

Перенесем $98304$ влево от $π$ .

$V = \frac{98304 π}{7}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{98304 π}{7}$

Десятичная форма:

$V = 44118.73203121 \dots$

Этап 9