Математический анализ Примеры

$y = x - 1$ , $y = x^{2} - 4 x + 3$ , $y = 3$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x - 1 = x^{2} - 4 x + 3$

Этап 1.2

Решим $x - 1 = x^{2} - 4 x + 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 4 x + 3 = x - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Этап 1.2.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x + 3 - x = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $x$ из $- 4 x$ .

$x^{2} - 5 x + 3 = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x^{2} - 5 x + 3 = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Этап 1.2.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 5 x + 3 + 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Этап 1.2.4

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Этап 1.2.5

Разложим $x^{2} - 5 x + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Этап 1.2.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x - 1) = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$(x - 4) (x - 1) = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Этап 1.2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Этап 1.2.7

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Этап 1.2.7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 4 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Этап 1.2.8

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Этап 1.2.8.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Этап 1.2.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 4, 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 4, 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3 y = 3$

Этап 1.3.2

Подставим $4$ вместо $x$ в $y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$

Этап 1.3.2.3

Упростим ${(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = 16 - 4 \cdot 4 + 3$

Этап 1.3.2.3.1.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = 16 - 16 + 3$

Этап 1.3.2.3.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.2.1

Вычтем $16$ из $16$ .

$y = 0 + 3$

Этап 1.3.2.3.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$y = 3$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3 y = 3$

Этап 1.4.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Этап 1.4.2.2

Избавимся от скобок.

$y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Этап 1.4.2.3

Упростим ${(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1 - 4 \cdot 1 + 3$

Этап 1.4.2.3.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = 1 - 4 + 3$

Этап 1.4.2.3.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.2.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$y = - 3 + 3$

Этап 1.4.2.3.2.2

Добавим $- 3$ и $3$ .

$y = 0$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(4, 3)$

$(1, 0)$

$(4, 3)$

$(1, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{4} x - 1 d x - \int_{1}^{4} x^{2} - 4 x + 3 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{4} x - 1 - (x^{2} - 4 x + 3) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 1 - x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 3$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 1 \cdot 3$

Этап 3.2.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 3$

$\int_{1}^{4} x - 1 - x^{2} + 4 x - 3 d x$

Этап 3.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $x$ и $4 x$ .

$5 x - 1 - x^{2} - 3$

Этап 3.3.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$5 x - x^{2} - 4$

$\int_{1}^{4} 5 x - x^{2} - 4 d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} 5 x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Этап 3.5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Этап 3.10

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Этап 3.11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Этап 3.12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $1$ .

$5 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Этап 3.12.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $1$ .

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Этап 3.12.3

Найдем значение $- 4 x$ в $4$ и в $1$ .

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$5 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$5 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$5 (8 - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.4

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$5 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.5

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.7.1

Умножим $8$ на $2$ .

$5 \frac{16 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.7.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$5 (\frac{15}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.8

Объединим $5$ и $\frac{15}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 15}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.9

Умножим $5$ на $15$ .

$\frac{75}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.10

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{75}{2} - \frac{64 - 1}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.13

Вычтем $1$ из $64$ .

$\frac{75}{2} - \frac{63}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.14

Сократим общий множитель $63$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.14.1

Вынесем множитель $3$ из $63$ .

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{75}{2} - \frac{21}{1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.14.2.4

Разделим $21$ на $1$ .

$\frac{75}{2} - 1 \cdot 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.15

Умножим $- 1$ на $21$ .

$\frac{75}{2} - 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.16

Чтобы записать $- 21$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{2} - 21 \cdot \frac{2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.17

Объединим $- 21$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{75 - 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.19.1

Умножим $- 21$ на $2$ .

$\frac{75 - 42}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.19.2

Вычтем $42$ из $75$ .

$\frac{33}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.20

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4 \cdot 1$

Этап 3.12.4.21

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4$

Этап 3.12.4.22

Добавим $- 16$ и $4$ .

$\frac{33}{2} - 12$

Этап 3.12.4.23

Чтобы записать $- 12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} - 12 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.12.4.24

Объединим $- 12$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

Этап 3.12.4.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{33 - 12 \cdot 2}{2}$

Этап 3.12.4.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.26.1

Умножим $- 12$ на $2$ .

$\frac{33 - 24}{2}$

Этап 3.12.4.26.2

Вычтем $24$ из $33$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 4