Математический анализ Примеры

$y = x - \frac{1}{75} x^{3}$ , $y = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x - \frac{1}{75} x^{3} = 0$

Этап 1.2

Решим $x - \frac{1}{75} x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{75}$ .

$x - \frac{x^{3}}{75} = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x - \frac{x^{3}}{75}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - \frac{x^{3}}{75} = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- \frac{x^{3}}{75}$ .

$x \cdot 1 + x (- \frac{x^{2}}{75}) = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- \frac{x^{2}}{75})$ .

$x (1 - \frac{x^{2}}{75}) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 - \frac{x^{2}}{75} = 0 + y = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $1 - \frac{x^{2}}{75}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $1 - \frac{x^{2}}{75}$ к $0$ .

$1 - \frac{x^{2}}{75} = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $1 - \frac{x^{2}}{75} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{x^{2}}{75} = - 1$

Этап 1.2.5.2.2

Умножим обе части уравнения на $- 75$ .

$- 75 (- \frac{x^{2}}{75}) = - 75 \cdot - 1$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1

Упростим $- 75 (- \frac{x^{2}}{75})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель $75$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{75}$ в числитель.

$- 75 \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

Этап 1.2.5.2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $75$ из $- 75$ .

$75 (- 1) \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

Этап 1.2.5.2.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$75 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

Этап 1.2.5.2.3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - x^{2} = - 75 \cdot - 1$

Этап 1.2.5.2.3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x^{2} = - 75 \cdot - 1$

Этап 1.2.5.2.3.1.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = - 75 \cdot - 1$

Этап 1.2.5.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.2.1

Умножим $- 75$ на $- 1$ .

$x^{2} = 75$

Этап 1.2.5.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

Этап 1.2.5.2.5

Упростим $\pm \sqrt{75}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5 \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5 \sqrt{3}$

Этап 1.2.5.2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (1 - \frac{x^{2}}{75}) = 0$ верно.

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(5 \sqrt{3}, 0)$

$(- 5 \sqrt{3}, 0)$

$(0, 0)$

$(5 \sqrt{3}, 0)$

$(- 5 \sqrt{3}, 0)$

Этап 2

Упростим $x - \frac{1}{75} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{75}$ .

$y = x - \frac{x^{3}}{75}$

Этап 2.2

Изменим порядок $x$ и $- \frac{x^{3}}{75}$ .

$y = - \frac{x^{3}}{75} + x$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} 0 d x - \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - \frac{x^{3}}{75} + x d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 5 \sqrt{3}$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} 0 - (- \frac{x^{3}}{75} + x) d x$

Этап 4.2

Вычтем $- \frac{x^{3}}{75} + x$ из $0$ .

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - (- \frac{x^{3}}{75} + x) d x$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} \frac{x^{3}}{75} - x d x$

Этап 4.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} \frac{x^{3}}{75} d x + \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - x d x$

Этап 4.5

Поскольку $\frac{1}{75}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{75}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{75} \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} x^{3} d x + \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - x d x$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} + \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - x d x$

Этап 4.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} x d x$

Этап 4.8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0})$

Этап 4.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0})$

Этап 4.9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $0$ и в $- 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{75} ((\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0})$

Этап 4.9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{75} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{75} (\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.3

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} {(- 5 (\sqrt{3}))}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.4

Применим правило умножения к $- 5 (\sqrt{3})$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} ({(- 5)}^{4} {\sqrt{3}}^{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.5

Возведем $- 5$ в степень $4$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 {\sqrt{3}}^{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{4}{2}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.6.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2}{1}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.6.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{2})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 9)) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.8

Умножим $625$ на $9$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} \cdot 5625) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.9

Умножим $5625$ на $- 1$ .

$\frac{1}{75} (0 - 5625 (\frac{1}{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.10

Объединим $- 5625$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{75} (0 + \frac{- 5625}{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{5625}{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.12

Вычтем $\frac{5625}{4}$ из $0$ .

$\frac{1}{75} (- \frac{5625}{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.13

Умножим $\frac{1}{75}$ на $\frac{5625}{4}$ .

$- \frac{5625}{75 \cdot 4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.14

Умножим $75$ на $4$ .

$- \frac{5625}{300} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.15

Сократим общий множитель $5625$ и $300$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.15.1

Вынесем множитель $75$ из $5625$ .

$- \frac{75 (75)}{300} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.15.2.1

Вынесем множитель $75$ из $300$ .

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{75}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.16

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{75}{4} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.17

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.17.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{75}{4} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{75}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{75}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{75}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.17.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.18

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 \sqrt{3}$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{{(- 5 (\sqrt{3}))}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.19

Применим правило умножения к $- 5 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{{(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.20

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.21

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.21.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.21.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.21.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2})$

Этап 4.9.2.3.21.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.21.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2})$

Этап 4.9.2.3.21.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{1}}{2})$

Этап 4.9.2.3.21.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3}{2})$

Этап 4.9.2.3.22

Умножим $25$ на $3$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{75}{2})$

Этап 4.9.2.3.23

Вычтем $\frac{75}{2}$ из $0$ .

$- \frac{75}{4} - - \frac{75}{2}$

Этап 4.9.2.3.24

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{75}{4} + 1 (\frac{75}{2})$

Этап 4.9.2.3.25

Умножим $\frac{75}{2}$ на $1$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2}$

Этап 4.9.2.3.26

Чтобы записать $\frac{75}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.9.2.3.27

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.27.1

Умножим $\frac{75}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 4.9.2.3.27.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{4}$

Этап 4.9.2.3.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 75 + 75 \cdot 2}{4}$

Этап 4.9.2.3.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.29.1

Умножим $75$ на $2$ .

$\frac{- 75 + 150}{4}$

Этап 4.9.2.3.29.2

Добавим $- 75$ и $150$ .

$\frac{75}{4}$

Этап 5

$A r e a = \int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} + x d x - \int_{0}^{5 \sqrt{3}} 0 d x$

Этап 6

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $5 \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} + x - (0) d x$

Этап 6.2

Вычтем $0$ из $- \frac{x^{3}}{75} + x$ .

$\int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} + x d x$

Этап 6.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} d x + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

Этап 6.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{5 \sqrt{3}} \frac{x^{3}}{75} d x + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

Этап 6.5

Поскольку $\frac{1}{75}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{75}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{75} \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x^{3} d x) + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

Этап 6.6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{5 \sqrt{3}} + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

Этап 6.7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{5 \sqrt{3}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5 \sqrt{3}}$

Этап 6.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $5 \sqrt{3}$ и в $0$ .

$- \frac{1}{75} ((\frac{1}{4} {(5 \sqrt{3})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5 \sqrt{3}}$

Этап 6.8.2

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $5 \sqrt{3}$ и в $0$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} {(5 \sqrt{3})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \sqrt{3}$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} {(5 (\sqrt{3}))}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.2

Применим правило умножения к $5 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (5^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.3

Возведем $5$ в степень $4$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 {\sqrt{3}}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{4}{2}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.4.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2}{1}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.4.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{2}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 9) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.6

Умножим $625$ на $9$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} \cdot 5625 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.7

Объединим $\frac{1}{4}$ и $5625$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.9

Умножим $0$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} + 0 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.10

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} + 0) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.11

Добавим $\frac{5625}{4}$ и $0$ .

$- \frac{1}{75} \cdot \frac{5625}{4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.12

Умножим $\frac{5625}{4}$ на $\frac{1}{75}$ .

$- \frac{5625}{4 \cdot 75} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.13

Умножим $4$ на $75$ .

$- \frac{5625}{300} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.14

Сократим общий множитель $5625$ и $300$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.14.1

Вынесем множитель $75$ из $5625$ .

$- \frac{75 (75)}{300} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.14.2.1

Вынесем множитель $75$ из $300$ .

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.15

Вынесем множитель $5$ из $5 \sqrt{3}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} {(5 (\sqrt{3}))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.16

Применим правило умножения к $5 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (5^{2} {\sqrt{3}}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.17

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 {\sqrt{3}}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.18

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.18.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.18.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.18.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.18.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.18.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.18.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{1}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.18.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.19

Умножим $25$ на $3$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} \cdot 75 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.20

Объединим $\frac{1}{2}$ и $75$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 6.8.3.21

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 6.8.3.22

Умножим $0$ на $- 1$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Этап 6.8.3.23

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} + 0$

Этап 6.8.3.24

Добавим $\frac{75}{2}$ и $0$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2}$

Этап 6.8.3.25

Чтобы записать $\frac{75}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.8.3.26

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.26.1

Умножим $\frac{75}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 6.8.3.26.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{4}$

Этап 6.8.3.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 75 + 75 \cdot 2}{4}$

Этап 6.8.3.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.28.1

Умножим $75$ на $2$ .

$\frac{- 75 + 150}{4}$

Этап 6.8.3.28.2

Добавим $- 75$ и $150$ .

$\frac{75}{4}$

Этап 7

Сложим площади $\frac{75}{4} + \frac{75}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{75 + 75}{4}$

Этап 7.2

Добавим $75$ и $75$ .

$\frac{150}{4}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $150$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $150$ .

$\frac{2 (75)}{4}$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 75}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 75}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{75}{2}$

Этап 8