Математический анализ Примеры

$y = x$ , $y = x^{3}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x = x^{3}$

Этап 1.2

Решим $x = x^{3}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$x - x^{3} = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x - x^{3} = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{3} = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- x^{2})$ .

$x (1 - x^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x (1^{2} - x^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$x ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Этап 1.2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (1 + x) (1 - x) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0 + y = x^{3}$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $1 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $1 + x$ к $0$ .

$1 + x = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.6

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 1.2.6.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 1.2.6.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.6.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (1 + x) (1 - x) = 0$ верно.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = {(0)}^{3}$

Этап 1.3.2

Подставим $0$ вместо $x$ в $y = {(0)}^{3}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{3}$

Этап 1.3.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = {(- 1)}^{3}$

Этап 1.4.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = - 1$

Этап 1.5

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = {(1)}^{3}$

Этап 1.5.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = {(1)}^{3}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1^{3}$

Этап 1.5.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1$

Этап 1.6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} x^{3} d x - \int_{- 1}^{0} x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - (x) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x$ .

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - x d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} x d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 3.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $0$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 3.7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 1 - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - \frac{1}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.5

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.7

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.7.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{4} - (0 - \frac{1}{2})$

Этап 3.7.2.3.9

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$- \frac{1}{4} - - \frac{1}{2}$

Этап 3.7.2.3.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 3.7.2.3.11

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 3.7.2.3.12

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.7.2.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.2.3.13.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

Этап 3.7.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 2}{4}$

Этап 3.7.2.3.15

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 4

$A r e a = \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} x - (x^{3}) d x$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $x^{3}$ .

$\int_{0}^{1} x - x^{3} d x$

Этап 5.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

Этап 5.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

Этап 5.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Этап 5.6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Этап 5.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Этап 5.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Этап 5.7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.7.2.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.7.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.7.2.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.7.2.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.7.2.3.6

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.7.2.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.7.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Этап 5.7.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.9.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Этап 5.7.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 5.7.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 5.7.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Этап 5.7.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - 0)$

Этап 5.7.2.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} + 0)$

Этап 5.7.2.3.11

Добавим $\frac{1}{4}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Этап 5.7.2.3.12

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

Этап 5.7.2.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

Этап 5.7.2.3.13.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 5.7.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 1}{4}$

Этап 5.7.2.3.15

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 6

Сложим площади $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 1}{4}$

Этап 6.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{4}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 7