Математический анализ Примеры

$y = - x + 2$ , $y = x^{2}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$- x + 2 = x^{2}$

Этап 1.2

Решим $- x + 2 = x^{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- x + 2 - x^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x + 2 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Перенесем $2$ .

$- x - x^{2} + 2 = 0$

Этап 1.2.2.1.1.2

Изменим порядок $- x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 2 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 2 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 2 = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + x) - 1 (- 2)$ .

$- (x^{2} + x - 2) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2 + y = x^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0 + y = x^{2}$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 1, - 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = {(1)}^{2}$

Этап 1.3.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = {(1)}^{2}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1^{2}$

Этап 1.3.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$y = {(- 2)}^{2}$

Этап 1.4.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = 4$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 1)$

$(- 2, 4)$

$(1, 1)$

$(- 2, 4)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{1} - x + 2 d x - \int_{- 2}^{1} x^{2} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{1} - x + 2 - (x^{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x^{2}$ .

$\int_{- 2}^{1} - x + 2 - x^{2} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 d x + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 d x + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x$

Этап 3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1} + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} x^{2} d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1})$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1})$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 2$ .

$- ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 2 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1})$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $2 x$ в $1$ и в $- 2$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1})$

Этап 3.10.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 2$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- (\frac{1}{2} - 2) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.5

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.6

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.8.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- \frac{1 - 4}{2} + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.8.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$- \frac{- 3}{2} + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{3}{2} + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.11

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{2} + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.12

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3}{2} + 2 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.13

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{3}{2} + 2 + 4 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.14

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{3}{2} + 6 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.15

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.16

Объединим $6$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2} - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 + 6 \cdot 2}{2} - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.18.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{3 + 12}{2} - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.18.2

Добавим $3$ и $12$ .

$\frac{15}{2} - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.19

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{15}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.20

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3})$

Этап 3.10.2.4.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{15}{2} - (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3})$

Этап 3.10.2.4.22

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3}))$

Этап 3.10.2.4.23

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{1}{3} + \frac{8}{3})$

Этап 3.10.2.4.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{15}{2} - \frac{1 + 8}{3}$

Этап 3.10.2.4.25

Добавим $1$ и $8$ .

$\frac{15}{2} - \frac{9}{3}$

Этап 3.10.2.4.26

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.26.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3}$

Этап 3.10.2.4.26.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.26.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

Этап 3.10.2.4.26.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

Этап 3.10.2.4.26.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{15}{2} - \frac{3}{1}$

Этап 3.10.2.4.26.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{15}{2} - 1 \cdot 3$

Этап 3.10.2.4.27

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{15}{2} - 3$

Этап 3.10.2.4.28

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.10.2.4.29

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Этап 3.10.2.4.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{15 - 3 \cdot 2}{2}$

Этап 3.10.2.4.31

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.31.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{15 - 6}{2}$

Этап 3.10.2.4.31.2

Вычтем $6$ из $15$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 4