Математический анализ Примеры

$4 y^{2} - \sqrt{x} = 12$ , $(16, 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 16$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 12$

Этап 1.2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (4 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (12)$

Этап 1.3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $4 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2.4

Умножим $2$ на $4$ .

$8 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 1.3.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.3.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 1.3.3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 1.3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 1.3.3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.3.3.9

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.4

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$8 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 1.6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ к обеим частям уравнения.

$8 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6.2

Разделим каждый член $8 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ на $8 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Разделим каждый член $8 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ на $8 y$ .

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

Этап 1.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

Этап 1.6.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

Этап 1.6.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

Этап 1.6.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

Этап 1.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{8 y}$

Этап 1.6.2.3.2

Объединим.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (8 y)}$

Этап 1.6.2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.3.3.1

Умножим $1$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 y}$

Этап 1.6.2.3.3.2

Умножим $8$ на $2$ .

$y' = \frac{1}{16 x^{\frac{1}{2}} y}$

Этап 1.6.2.3.3.3

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{16 x^{\frac{1}{2}} y}$ .

$y' = \frac{1}{16 y x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{16 y x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.8

Найдем значение $x = 16$ в $y = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $16$ .

$\frac{1}{16 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.8.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $2$ .

$\frac{1}{16 (2) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.8.3

Умножим $16$ на ${(16)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Перенесем ${(16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(16)}^{\frac{1}{2}} \cdot 16 \cdot 2}$

Этап 1.8.3.2

Умножим ${(16)}^{\frac{1}{2}}$ на $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.2.1

Возведем $16$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{(16)}^{\frac{1}{2}} \cdot 16^{1} \cdot 2}$

Этап 1.8.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{16^{\frac{1}{2} + 1} \cdot 2}$

Этап 1.8.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{16^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2}$

Этап 1.8.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{16^{\frac{1 + 2}{2}} \cdot 2}$

Этап 1.8.3.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{16^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 1.8.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$\frac{1}{{(2^{4})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 1.8.4.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{4})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{4 (\frac{3}{2})} \cdot 2}$

Этап 1.8.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2^{2 (2) \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 1.8.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2^{2 \cdot 2 \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 1.8.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2^{2 \cdot 3} \cdot 2}$

Этап 1.8.4.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{2^{6} \cdot 2}$

Этап 1.8.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2^{6 + 1}}$

Этап 1.8.4.4

Добавим $6$ и $1$ .

$\frac{1}{2^{7}}$

Этап 1.8.5

Возведем $2$ в степень $7$ .

$\frac{1}{128}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{128}$ и координаты заданной точки $(16, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{128} \cdot (x - (16))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{1}{128} \cdot (x - 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 2 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = \frac{1}{128} x + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{1}{128}$ и $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Вынесем множитель $16$ из $128$ .

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 (8)} \cdot - 16$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $16$ из $- 16$ .

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{8} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.6

Объединим $\frac{1}{8}$ и $- 1$ .

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{- 1}{8}$

Этап 2.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 2 = \frac{x}{128} - \frac{1}{8}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 2$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{8}{8}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 2 \cdot 8}{8}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $2$ на $8$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 16}{8}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 1$ и $16$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{15}{8}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{128} x + \frac{15}{8}$

Этап 3