Математический анализ Примеры

$y = {(x^{3} - 16 x)}^{10}$ , $(4, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{10}$ и $g (x) = x^{3} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 16 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$10 u^{9} \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 16 x$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 16 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (3 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (3 x^{2} - 16 \cdot 1)$

Этап 1.2.5

Умножим $- 16$ на $1$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (3 x^{2} - 16)$

Этап 1.3

Найдем производную в $x = 4$ .

$10 {({(4)}^{3} - 16 \cdot 4)}^{9} (3 {(4)}^{2} - 16)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$10 {(64 - 16 \cdot 4)}^{9} (3 {(4)}^{2} - 16)$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 16$ на $4$ .

$10 {(64 - 64)}^{9} (3 {(4)}^{2} - 16)$

Этап 1.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вычтем $64$ из $64$ .

$10 \cdot 0^{9} (3 {(4)}^{2} - 16)$

Этап 1.4.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$10 \cdot 0 (3 {(4)}^{2} - 16)$

Этап 1.4.2.3

Умножим $10$ на $0$ .

$0 (3 {(4)}^{2} - 16)$

Этап 1.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$0 (3 \cdot 16 - 16)$

Этап 1.4.3.2

Умножим $3$ на $16$ .

$0 (48 - 16)$

Этап 1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вычтем $16$ из $48$ .

$0 \cdot 32$

Этап 1.4.4.2

Умножим $0$ на $32$ .

$0$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $0$ и координаты заданной точки $(4, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 0 \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 0 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 0 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.2

Умножим $0$ на $x - 4$ .

$y = 0$

Этап 3