Математический анализ Примеры

$y = \frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ , $(0, 8)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 8$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ в виде ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 1.7.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 1.7.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 1.8

Найдем производную в $x = 0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(\sin (0) + \cos (0))}^{2}}$

Этап 1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + \cos (0))}^{2}}$

Этап 1.9.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + 1)}^{2}}$

Этап 1.9.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1^{2}}$

Этап 1.9.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Этап 1.9.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- (1 - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Этап 1.9.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- (1 - 0) \frac{8}{1}$

Этап 1.9.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (1 + 0) \frac{8}{1}$

Этап 1.9.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.2.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 1 \cdot 1 \frac{8}{1}$

Этап 1.9.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 (\frac{8}{1})$

Этап 1.9.2.2.3

Разделим $8$ на $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Этап 1.9.2.2.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 8$ и координаты заданной точки $(0, 8)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 8 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 8 = - 8 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 8 = - 8 x$

Этап 2.3.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$y = - 8 x + 8$

Этап 3