Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{2 x}$ , $(32, 8)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 32$ и $y = 8$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.3

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $2^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 1.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.10

Объединим $2^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Перенесем $2^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.12

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.12.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.12.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13

Найдем производную в $x = 32$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(32)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1.1

Перепишем $32$ в виде $2^{5}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot {(2^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.14.1.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{5})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{5 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.14.1.2.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}$

Этап 1.14.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2} + \frac{5}{2}}}$

Этап 1.14.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2^{\frac{1 + 5}{2}}}$

Этап 1.14.1.5

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{1}{2^{\frac{6}{2}}}$

Этап 1.14.1.6

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}$

Этап 1.14.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}$

Этап 1.14.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}$

Этап 1.14.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2^{\frac{3}{1}}}$

Этап 1.14.1.6.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2^{3}}$

Этап 1.14.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{8}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{8}$ и координаты заданной точки $(32, 8)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = \frac{1}{8} \cdot (x - (32))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{1}{8} \cdot (x - 32)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 8 = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 32$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x$ .

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 32$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Вынесем множитель $8$ из $- 32$ .

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 (- 4))$

Этап 2.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 4)$

Этап 2.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$y - 8 = \frac{x}{8} - 4$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{8} - 4 + 8$

Этап 2.3.2.2

Добавим $- 4$ и $8$ .

$y = \frac{x}{8} + 4$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{8} x + 4$

Этап 3