Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ , $(2, 6)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 6$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{({(2 x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 5)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Этап 1.3.3

Умножим ${(2 x - 5)}^{2}$ на $1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Этап 1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 (2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Этап 1.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $2 x - 5$ из ${(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $2 x - 5$ из ${(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $2 x - 5$ из $- 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $2 x - 5$ из $(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Этап 1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем множитель $2 x - 5$ из ${(2 x - 5)}^{4}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.6.3

Перепишем это выражение.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.7

По правилу суммы производная $2 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.10

Умножим $2$ на $1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.11

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Добавим $2$ и $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.12.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 4 x}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.12.3

Вычтем $4 x$ из $2 x$ .

$3 \frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.12.4

Объединим $3$ и $\frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (- 2 x) + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.13.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.2.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{- 6 x + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.13.2.2

Умножим $3$ на $- 5$ .

$\frac{- 6 x - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.13.3

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x$ .

$\frac{3 (- 2 x) - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.13.3.2

Вынесем множитель $3$ из $- 15$ .

$\frac{3 (- 2 x) + 3 (- 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.13.3.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 2 x) + 3 (- 5)$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.13.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.13.5

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.13.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.13.7

Перепишем $- (2 x + 5)$ в виде $- 1 (2 x + 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.13.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (2 x + 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Этап 1.14

Найдем производную в $x = 2$ .

$- \frac{3 (2 (2) + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Этап 1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{3 (4 + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Этап 1.15.1.2

Добавим $4$ и $5$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Этап 1.15.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(4 - 5)}^{3}}$

Этап 1.15.2.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(- 1)}^{3}}$

Этап 1.15.2.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{- 1}$

Этап 1.15.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.3.1

Умножим $3$ на $9$ .

$- \frac{27}{- 1}$

Этап 1.15.3.2

Разделим $27$ на $- 1$ .

$- - 27$

Этап 1.15.3.3

Умножим $- 1$ на $- 27$ .

$27$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $27$ и координаты заданной точки $(2, 6)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = 27 \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $27 \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 6 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 6 = 27 x + 27 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Умножим $27$ на $- 2$ .

$y - 6 = 27 x - 54$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = 27 x - 54 + 6$

Этап 2.3.2.2

Добавим $- 54$ и $6$ .

$y = 27 x - 48$

Этап 3