Математический анализ Примеры

$y = \frac{36}{x^{2} + 2}$ , $(1, 12)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 12$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{36}{x^{2} + 2}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} + 2}$ в виде ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ .

$36 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 2$ .

$36 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$36 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 2$ .

$36 (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $36$ .

$- 36 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0)$

Этап 1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x)$

Этап 1.3.5.2

Умножим $2$ на $- 36$ .

$- 72 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 72 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим $- 72$ и $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Этап 1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Этап 1.4.2.3

Объединим $x$ и $\frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.4.2.4

Перенесем $72$ влево от $x$ .

$- \frac{72 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 1$ .

$- \frac{72 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $72$ на $1$ .

$- \frac{72}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 1.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{72}{{(1 + 2)}^{2}}$

Этап 1.6.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{72}{3^{2}}$

Этап 1.6.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{72}{9}$

Этап 1.6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Разделим $72$ на $9$ .

$- 1 \cdot 8$

Этап 1.6.3.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 8$ и координаты заданной точки $(1, 12)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (12) = - 8 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 8 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 12 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 12 = - 8 x - 8 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$y - 12 = - 8 x + 8$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$y = - 8 x + 8 + 12$

Этап 2.3.2.2

Добавим $8$ и $12$ .

$y = - 8 x + 20$

Этап 3