Математический анализ Примеры

$y = \frac{5 x}{x - 3}$ , $(4, 20)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = 20$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 x}{x - 3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 3$ .

$5 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$5 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$5 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$5 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$5 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$5 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.4.1

Вычтем $3$ из $0$ .

$5 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Этап 1.3.6.4.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.5

Объединим $- 5$ и $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.6.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{- 15}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 4$ .

$- \frac{15}{{((4) - 3)}^{2}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $3$ из $4$ .

$- \frac{15}{1^{2}}$

Этап 1.5.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{15}{1}$

Этап 1.5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим $15$ на $1$ .

$- 1 \cdot 15$

Этап 1.5.2.2

Умножим $- 1$ на $15$ .

$- 15$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 15$ и координаты заданной точки $(4, 20)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (20) = - 15 \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 20 = - 15 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 15 \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 20 = 0 + 0 - 15 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 20 = - 15 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 20 = - 15 x - 15 \cdot - 4$

Этап 2.3.1.4

Умножим $- 15$ на $- 4$ .

$y - 20 = - 15 x + 60$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $20$ к обеим частям уравнения.

$y = - 15 x + 60 + 20$

Этап 2.3.2.2

Добавим $60$ и $20$ .

$y = - 15 x + 80$

Этап 3