Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 x}{x - 2}$ , $(4, 6)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = 6$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x}{x - 2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 2$ .

$3 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \frac{(x - 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$3 \frac{x - 2 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$3 \frac{x - 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \frac{x - 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 \frac{x - 2 - x (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$3 \frac{x - 2 - x \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 \frac{x - 2 - x}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$3 \frac{0 - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.4.1

Вычтем $2$ из $0$ .

$3 \frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- \frac{2}{{(x - 2)}^{2}})$

Этап 1.3.6.4.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.6.5

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.6.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{- 6}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3.6.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 4$ .

$- \frac{6}{{((4) - 2)}^{2}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $2$ из $4$ .

$- \frac{6}{2^{2}}$

Этап 1.5.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{2}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{3}{2}$ и координаты заданной точки $(4, 6)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 6 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 6 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 6 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{3}{2}$ .

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

Этап 2.3.1.2.3.3

Сократим общий множитель.

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

Этап 2.3.1.2.3.4

Перепишем это выражение.

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.2.4

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y - 6 = - \frac{3 x}{2} + 6$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{3 x}{2} + 6 + 6$

Этап 2.3.2.2

Добавим $6$ и $6$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 12$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 12$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{2} x + 12$

Этап 3