Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ , $(1, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x + 1$ и $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Перенесем $2$ влево от $x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.2.7

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.2.9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.2.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x + 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x + 4 - 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{0 + 4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.3.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.3.3

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$\frac{3}{{((1) + 2)}^{2}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3}{3^{2}}$

Этап 1.5.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3}{9}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{9}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Этап 1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{3}$ и координаты заданной точки $(1, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{1}{3} \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{1}{3} \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 1 = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 1$

Этап 2.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Этап 2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 3}{3}$

Этап 2.3.2.4

Добавим $- 1$ и $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$

Этап 3