Математический анализ Примеры

$48 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 625 x y^{2}$ , $(3, 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (48 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (625 x y^{2})$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$48 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$48 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$48 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $2$ на $48$ .

$96 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 1.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(96 x^{2} + 96 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 1.2.6.2

Изменим порядок множителей в $(96 x^{2} + 96 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2})$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $625$ является константой относительно $x$ , производная $625 x y^{2}$ по $x$ равна $625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$625 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$625 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$625 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$625 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$625 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Этап 1.3.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2})$

Этап 1.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$625 (2 x y y') + 625 y^{2}$

Этап 1.3.8.2

Умножим $2$ на $625$ .

$1250 x y y' + 625 y^{2}$

Этап 1.3.8.3

Изменим порядок членов.

$625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим $(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.3

Развернем $(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (96 x^{2} + 96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (96 x^{2}) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (96 x^{2}) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 96 x \cdot x^{2} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 \cdot 96 (x^{2} x) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \cdot 96 (x^{2} x^{1}) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 96 x^{2 + 1} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \cdot 96 x^{3} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4.3

Умножим $2$ на $96$ .

$192 x^{3} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$192 x^{3} + 2 \cdot 96 x y^{2} + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4.5

Умножим $2$ на $96$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4.6

Умножим $96$ на $2$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4.7

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.7.1

Перенесем $y^{2}$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4.7.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.7.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.1.4.8

Умножим $96$ на $2$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 1.5.2

Вычтем $1250 x y y'$ из обеих частей уравнения.

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2}$

Этап 1.5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вычтем $192 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3}$

Этап 1.5.3.2

Вычтем $192 x y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Этап 1.5.4

Вынесем множитель $2 y y'$ из $192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $192 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (96 x^{2}) + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Этап 1.5.4.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $192 y^{3} y'$ .

$2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Этап 1.5.4.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $- 1250 x y y'$ .

$2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Этап 1.5.4.4

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2})$ .

$2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Этап 1.5.4.5

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x)$ .

$2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Этап 1.5.5

Разделим каждый член $2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$ на $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Разделим каждый член $2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$ на $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ .

$\frac{2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.2.3

Сократим общий множитель $96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.5.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $625 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $- 192$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 192 x^{3}$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x^{3})}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x^{3})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x^{3})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.4

Сократим общий множитель $- 192$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 192 x y^{2}$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x y^{2})}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x y^{2})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))}$

Этап 1.5.5.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x y^{2})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))}$

Этап 1.5.5.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 96 x y^{2}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.5

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- 96 x y^{2}$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (- 96 x y)}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (- 96 x y)}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$

Этап 1.5.5.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$

Этап 1.5.5.3.2

Чтобы записать $- \frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.5.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.3.1

Умножим $\frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y \cdot 2}{(96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2}$

Этап 1.5.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y \cdot 2}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y - 96 x y \cdot 2}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $625 y - 96 x y \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.5.1.1

Вынесем множитель $y$ из $625 y$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y \cdot 625 - 96 x y \cdot 2}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.5.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 96 x y \cdot 2$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y \cdot 625 + y (- 96 x \cdot 2)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.5.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 625 + y (- 96 x \cdot 2)$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 96 x \cdot 2)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.5.2

Умножим $2$ на $- 96$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.6

Чтобы записать $- \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.7

Чтобы записать $\frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 1.5.5.3.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.8.1

Умножим $\frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 1.5.5.3.8.2

Умножим $\frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2} + \frac{y (625 - 192 x) y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) y}$

Этап 1.5.5.3.8.3

Изменим порядок множителей в $y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 192 x) y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) y}$

Этап 1.5.5.3.8.4

Изменим порядок множителей в $2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) y$ .

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 192 x) y}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 96 x^{3} \cdot 2 + y (625 - 192 x) y}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.10.1

Умножим $2$ на $- 96$ .

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y (625 - 192 x) y}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.10.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.10.2.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y \cdot y (625 - 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.10.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y^{2} (625 - 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y^{2} \cdot 625 + y^{2} (- 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.10.4

Перенесем $625$ влево от $y^{2}$ .

$y' = \frac{- 192 x^{3} + 625 \cdot y^{2} + y^{2} (- 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.10.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = \frac{- 192 x^{3} + 625 y^{2} - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.11

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.11.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 192 x^{3}$ .

$y' = \frac{- (192 x^{3}) + 625 y^{2} - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.11.2

Вынесем множитель $- 1$ из $625 y^{2}$ .

$y' = \frac{- (192 x^{3}) - (- 625 y^{2}) - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.11.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (192 x^{3}) - (- 625 y^{2})$ .

$y' = \frac{- (192 x^{3} - 625 y^{2}) - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 192 y^{2} x$ .

$y' = \frac{- (192 x^{3} - 625 y^{2}) - (192 y^{2} x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.11.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (192 x^{3} - 625 y^{2}) - (192 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{- (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.11.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.11.6.1

Перепишем $- (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)$ в виде $- 1 (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{- 1 (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.5.5.3.11.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 3$ в $y = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$- \frac{192 {(3)}^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} (3)}{2 y (96 {(3)}^{2} + 96 y^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $4$ .

$- \frac{192 {(3)}^{3} - 625 {(4)}^{2} + 192 {(4)}^{2} (3)}{2 (4) (96 {(3)}^{2} + 96 {(4)}^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{192 \cdot 27 - 625 \cdot 4^{2} + 192 \cdot 4^{2} \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.3.2

Умножим $192$ на $27$ .

$- \frac{5184 - 625 \cdot 4^{2} + 192 \cdot 4^{2} \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.3.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{5184 - 625 \cdot 16 + 192 \cdot 4^{2} \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.3.4

Умножим $- 625$ на $16$ .

$- \frac{5184 - 10000 + 192 \cdot 4^{2} \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.3.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{5184 - 10000 + 192 \cdot 16 \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.3.6

Умножим $192 \cdot 16 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.6.1

Умножим $192$ на $16$ .

$- \frac{5184 - 10000 + 3072 \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.3.6.2

Умножим $3072$ на $3$ .

$- \frac{5184 - 10000 + 9216}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.3.7

Вычтем $10000$ из $5184$ .

$- \frac{- 4816 + 9216}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.3.8

Добавим $- 4816$ и $9216$ .

$- \frac{4400}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.4

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{4400}{8 (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{4400}{8 (96 \cdot 9 + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.5.2

Умножим $96$ на $9$ .

$- \frac{4400}{8 (864 + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.5.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{4400}{8 (864 + 96 \cdot 16 - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.5.4

Умножим $96$ на $16$ .

$- \frac{4400}{8 (864 + 1536 - 625 \cdot 3)}$

Этап 1.7.5.5

Умножим $- 625$ на $3$ .

$- \frac{4400}{8 (864 + 1536 - 1875)}$

Этап 1.7.5.6

Добавим $864$ и $1536$ .

$- \frac{4400}{8 (2400 - 1875)}$

Этап 1.7.5.7

Вычтем $1875$ из $2400$ .

$- \frac{4400}{8 \cdot 525}$

Этап 1.7.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Умножим $8$ на $525$ .

$- \frac{4400}{4200}$

Этап 1.7.6.2

Сократим общий множитель $4400$ и $4200$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.2.1

Вынесем множитель $200$ из $4400$ .

$- \frac{200 (22)}{4200}$

Этап 1.7.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.2.2.1

Вынесем множитель $200$ из $4200$ .

$- \frac{200 \cdot 22}{200 \cdot 21}$

Этап 1.7.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{200 \cdot 22}{200 \cdot 21}$

Этап 1.7.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{22}{21}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{22}{21}$ и координаты заданной точки $(3, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - \frac{22}{21} \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = - \frac{22}{21} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{22}{21} \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{22}{21} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = - \frac{22}{21} x - \frac{22}{21} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{22}{21}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} - \frac{22}{21} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{22}{21}$ в числитель.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{21} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{3 (7)} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.2.3.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{3 \cdot 7} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.4

Сократим общий множитель.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{3 \cdot 7} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.5

Перепишем это выражение.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{7} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.2.4

Объединим $\frac{- 22}{7}$ и $- 1$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22 \cdot - 1}{7}$

Этап 2.3.1.2.5

Умножим $- 22$ на $- 1$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{22}{7}$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $22$ влево от $x$ .

$y - 4 = - \frac{22 x}{21} + \frac{22}{7}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22}{7} + 4$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22}{7} + 4 \cdot \frac{7}{7}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $4$ и $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22}{7} + \frac{4 \cdot 7}{7}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22 + 4 \cdot 7}{7}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $4$ на $7$ .

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22 + 28}{7}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $22$ и $28$ .

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{50}{7}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{22}{21} x) + \frac{50}{7}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{22}{21} x + \frac{50}{7}$

Этап 3