Математический анализ Примеры

$4 x y^{3} + 5 x y = 36$ , $(4, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (4 x y^{3} + 5 x y) = \frac{d}{d x} (36)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $4 x y^{3} + 5 x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x y^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{3}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Этап 1.2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Этап 1.2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Этап 1.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$4 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Этап 1.2.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Этап 1.2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Этап 1.2.2.6

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$4 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Этап 1.2.2.7

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x y$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 1.2.3.2

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 1.2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y)$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y' + y)$

Этап 1.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y') + 5 y$

Этап 1.2.4.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x y^{2} y' + 4 y^{3} + 5 x y' + 5 y$

Этап 1.2.4.4

Изменим порядок членов.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y$

Этап 1.3

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $4 y^{3}$ из обеих частей уравнения.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = - 4 y^{3}$

Этап 1.5.1.2

Вычтем $5 y$ из обеих частей уравнения.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $x y'$ из $12 y^{2} x y' + 5 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $x y'$ из $12 y^{2} x y'$ .

$x y' (12 y^{2}) + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $x y'$ из $5 x y'$ .

$x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5 = - 4 y^{3} - 5 y$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $x y'$ из $x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5$ .

$x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ на $x (12 y^{2} + 5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ на $x (12 y^{2} + 5)$ .

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $12 y^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Этап 1.5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 4$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$- \frac{4 y^{3}}{(4) (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{(4) (12 y^{2} + 5)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$- \frac{4 {(1)}^{3}}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)} - \frac{5 (1)}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Этап 1.7.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 {(1)}^{3} - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Этап 1.7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Этап 1.7.3.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{- 4 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Этап 1.7.3.2.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{- 4 - 5}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Этап 1.7.3.3

Вычтем $5$ из $- 4$ .

$\frac{- 9}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 9}{4 (12 \cdot 1 + 5)}$

Этап 1.7.4.2

Умножим $12$ на $1$ .

$\frac{- 9}{4 (12 + 5)}$

Этап 1.7.4.3

Добавим $12$ и $5$ .

$\frac{- 9}{4 \cdot 17}$

Этап 1.7.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $4$ на $17$ .

$\frac{- 9}{68}$

Этап 1.7.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{68}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{9}{68}$ и координаты заданной точки $(4, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{9}{68} \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \frac{9}{68} x - \frac{9}{68} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{9}{68}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} - \frac{9}{68} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9}{68}$ в числитель.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{68} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $4$ из $68$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 (17)} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.4

Сократим общий множитель.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.5

Перепишем это выражение.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{17} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.2.4

Объединим $\frac{- 9}{17}$ и $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9 \cdot - 1}{17}$

Этап 2.3.1.2.5

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{9}{17}$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $9$ влево от $x$ .

$y - 1 = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + 1$

Этап 2.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + \frac{17}{17}$

Этап 2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9 + 17}{17}$

Этап 2.3.2.4

Добавим $9$ и $17$ .

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{26}{17}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{9}{68} x) + \frac{26}{17}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{9}{68} x + \frac{26}{17}$

Этап 3