Математический анализ Примеры

$x e^{y} + y e^{x} = 1$ , $(0, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} + y e^{x}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x e^{y} + y e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Этап 1.2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Этап 1.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Этап 1.2.2.5

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

$x e^{y} y' + e^{y} + y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} y'$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Изменим порядок членов.

$e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$

Этап 1.2.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$ .

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$

Этап 1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y} = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Изменим порядок множителей в $x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + y e^{x} + y' e^{x} + e^{y} = 0$

Этап 1.5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вычтем $y e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$x y' e^{y} + y' e^{x} + e^{y} = - y e^{x}$

Этап 1.5.2.2

Вычтем $e^{y}$ из обеих частей уравнения.

$x y' e^{y} + y' e^{x} = - y e^{x} - e^{y}$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $x y' e^{y} + y' e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' e^{x}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x e^{y}) + y' (e^{x})$ .

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Этап 1.5.4

Разделим каждый член $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ на $x e^{y} + e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Разделим каждый член $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ на $x e^{y} + e^{x}$ .

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Этап 1.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Сократим общий множитель $x e^{y} + e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Этап 1.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Этап 1.5.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y e^{x}$ .

$y' = \frac{- (y e^{x}) - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Этап 1.5.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{y}$ .

$y' = \frac{- (y e^{x}) - (e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Этап 1.5.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y e^{x}) - (e^{y})$ .

$y' = \frac{- (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Этап 1.5.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.5.1

Перепишем $- (y e^{x} + e^{y})$ в виде $- 1 (y e^{x} + e^{y})$ .

$y' = \frac{- 1 (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Этап 1.5.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 0$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$- \frac{y e^{0} + e^{y}}{(0) \cdot e^{y} + e^{0}}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$- \frac{(1) \cdot e^{0} + e^{1}}{(0) \cdot e^{1} + e^{0}}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Умножим $e^{0}$ на $1$ .

$- \frac{e^{0} + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Этап 1.7.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{1 + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Этап 1.7.3.3

Упростим.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Упростим.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e + e^{0}}$

Этап 1.7.4.2

Умножим $0$ на $e$ .

$- \frac{1 + e}{0 + e^{0}}$

Этап 1.7.4.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{1 + e}{0 + 1}$

Этап 1.7.4.4

Добавим $0$ и $1$ .

$- \frac{1 + e}{1}$

Этап 1.7.5

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Разделим $1 + e$ на $1$ .

$- (1 + e)$

Этап 1.7.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 1 - e$

Этап 1.7.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - e$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 1 - e$ и координаты заданной точки $(0, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = (- 1 - e) \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $(- 1 - e) \cdot (x + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot x$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - 1 x - e x$

Этап 2.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y - 1 = - x - e x$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - x - e x + 1$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перенесем $e$ .

$y = - x - 1 x e + 1$

Этап 2.3.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x - x e + 1$

Этап 2.3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$y = x \cdot - 1 - x e + 1$

Этап 2.3.3.4

Вынесем множитель $x$ из $- x e$ .

$y = x \cdot - 1 + x (- e) + 1$

Этап 2.3.3.5

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot - 1 + x (- e)$ .

$y = x \cdot (- 1 - e) + 1$

Этап 2.3.3.6

Умножим $- 1 - e$ на $x$ .

$y = (- 1 - e) x + 1$

Этап 3